CCF20130109033

Naprężenie normalne a opatrzone jest indeksem normalnej do przekroju, w którego punkcie to naprężenie jest określone. Naprężenia styczne T opatrzone są dwoma indeksami, z których pierwszy oznacza indeks normalnej do przekroju, drugi - indeks osi określającej kierunek tego naprężenia.

Naprężenie normalne jest dodatnie, jeżeli jego zwrot jest zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej. Naprężenia styczne są dodatnie, jeżeli tworzą z normalną zewnętrzną prawoskrętny układ współrzędnych.

Naprężenia normalne i styczne występujące w danym punkcie ciała przedstawiono na ściankach elementarnego prostopadłościanu wyciętego myślowo w otoczeniu tego punktu (rys. 4.3a).

Można wykazać, że składowe styczne opatrzone tymi samymi indeksami są sobie równe, a mianowicie:

*xy^=Ty*’ ^rr-^=Tzy>    = *=    (⁴-³)

Wynika stąd, że w ogólnym przypadku stan naprężenia w punkcie będzie określony, gdy znamy sześć składowych stanu naprężenia: <7_x,<7_y,0_:,z_xy, x_yz, X _zx .

W każdym punkcie dowolnie obciążonego ciała można poprowadzić trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, w których nie występują naprężenia styczne. Takie płaszczyzny nazywamy płaszczyznami lub przekrojami głównymi. W przekrojach głównych naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne. Naprężenia te nazywamy naprężeniami głównymi i oznaczamy symbolami: o^-,, <J₂,(J₃ • Między naprężeniami głównymi zachodzą relacje: <7, >cr₂ ><J₃. Na rysunku 4.3b pokazano elementarny prostopadłościan, na którego ściankach występują naprężenia główne.

a)    b)

■

*.J. I I    SJLATN AArKI^ŁrNlA

W praktyce inżynierskiej najczęściej spotykamy przypadki płaskiego stanu naprężenia, w którym występują składowe: a_x,(t_v,t .

Znajomość tych wielkości w danym punkcie elementu pozwala na wyznaczenie naprężeń normalnych i stycznych w poprowadzonym przez ten punkt dowolnie nachylonym przekroju.

Rozpatrzmy wybrany z elementu konstrukcji prostopadłościan ABCD o wymiarach dx, dy, 1 (rys. 4.4a).

,    dx

4-4

Rys. 4.4

Przetnijmy myślowo rozpatrywany element przekrojem, którego normalna zewnętrzna tworzy kąt (p z kierunkiem naprężenia a_x i odrzućmy jedną z jego części (rys. 4.4b). Określmy składowe sił wewnętrznych, działających na ściankach bocznych graniastosłupa trójkątnego. Siły działające na ten element pozostają w równowadze, zatem muszą być spełnione warunki: En = 0 i Et = 0 (rzutujemy wszystkie siły na kierunek normalny i styczny do rozpatrywanego przekroju ukośnego). Pole przekroju ukośnego oznaczamy przez A, pola pozostałych przekrojów są odpowiednio równe A cos cp i Asinę. Otrzymujemy:

-cr_xA cos² ę-or_yA sin² ę-i^A cos (psinę -t^A sin ę cos cp +o_ęA = 0,

I>⁰’

-o_xAcosęsin ę + <j_yAsin (pcosę + t^Acos² <p -r^Asin² ę + t^A = 0,

63