0468

469

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

Łatwo jest obliczyć długość odcinka normalnej do elipsy

« =

,42,    4

b x +a y

2

Takie samo wyrażenie otrzymujemy także w przypadku hiperboli

2

X

a

2

3) Asteroida x¹¹³ +y²¹³ = a²¹³ Równanie stycznej

(rys. 116 na str. 451). _A'-^,/3(jr-x)+y-^,/3(T-y)=0

może być za pomocą równania samej krzywej przekształcone do postaci X r    X    Y

x^,/i+/'³~^a

ub

t +

2/3    1/3

a y

= 1.

Ostatnie równanie jest równaniem odcinkowym prostej. Styczna do krzywej odcina zatem na osiach odcinki a^2l3x¹¹³ i a^2,3y'ⁿ. Łatwo jest stąd otrzymać interesującą własność asteroidy. Mianowicie, jeśli oznaczymy przez r długość odcinka stycznej zawartego między osiami, otrzymamy

r ²=_a⁴/V^,3 + a⁴/y^/3=a²

A więc

r = a=const.

Tym samym osie symetrii asteroidy odcinają na wszystkich stycznych równe odcinki.

4)    Cykloida x = a(t—sin /), y=a(l —cos t) (rys. 118 na str. 453)

dy

Wiemy już z ustępu 225, przykład 1, że —=ctg|r, czyli

dx

tga=ctgł/=tg(i;r—*0,

można zatem przyjąć a = in —$t.

Przypominamy, że t = ■$:MDN (rys. 118), a więc %.MEN=\t. Jeżeli przedłużymy prostą EM do przecięcia się z osią x w punkcie T, to otrzymamy kąt %.ETx = %n—%t=a. Tym samym prosta ME, łącząca punkt cykloidy z najwyższym punktem toczącego się koła w odpowiednim położeniu, jest styczną. Stąd wynika, że prosta MN jest normalną.

Będzie nam później potrzebna długość n odcinka normalnej, którą łatwo obliczyć z trójkąta prostokątnego MEN. Mianowicie

n=MN=2a sin-Jt.

5)    Epicykloida

x=a [(1 +m)cosmf—mcos(l +m)t], y=a [(1 +m)sin mt — msin(l +m)t]

(rys. 119 na str. 454). Pisząc pochodne x', i y'_t w postaci

xl=2am(l +/n)sini/cos(m+J)/, .V₍'=2am(l+/n)sinif sin («+$)»,

znajdujemy

tg a

Yt

x'.

Stąd oc=(m+ł)f.