104

104

7. Wektory losowe

Zadanie 7.1.9.

Niech T będzie obszarem ograniczonym prostymi: x = 0, y = x i y = 2— x. Ponadto niech gęstość dwuwymiarowa będzie dana wzorem

1 dla (x,y) G T, 0 dla (x,y) £ T.

Wyznaczyć rozkłady warunkowe.

Zadanie 7.1.10.

Obliczyć prawdopodobieństwo Pr(X < 1/2|Y < 1/3) jeżeli dana jest dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej

F(x,y) = (~arctg2x + ^arctg3y+^ .

Zadanie 7.1.11*.

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość

f3x(jr— y²) dla 0 < x < 1, x— 1 < y < 1 — x,

f(^x>y) = < _

[0    poza tym.

Znaleźć gęstość f(xb)l_y=l/₂- Obliczyć E(A'|Y = 1/2), E(sinż£'|Y — 1/2). Nie wykonując żadnych obliczeń odczytać z postaci rozkładu, prawdopodobieństwa:

a)    Pr(l/2< |X|<3/4|y = -l/2),

b)    Pr(X < 1|X + Y = 1),

c)    Pr(X² + y² < 1).

Zadanie 7.1.12.

Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład prawdopodobieństwa podany w tabeli:

\^yX \	2	4
-1	0.1	0.06
0	0.3	0.18
1	0.2	0.16

a)    Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

b)    Wyznaczyć krzywą regresji pierwszego rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X.

Zadanie 7.1.13.

Zmienna losowa dwuwymiarowa (X,Y) ma rozkład podany w tabelce:

Y \	1	2	3	4	5
1	2/24	4/24	0	3/24	3/24
2	2/24	1/24	2/24	1/24	0
3	2/24	1/24	0	1/24	2/24

Obliczyć regresję pierwszego rodzaju zmiennej losowej X względem Y.