104

104

7. Wektory losowe

7.2.3. Warunkowa wartość oczekiwana

Mając dystrybuantę warunkową, można określić warunkową wartość oczekiwaną korzystając ze wzoru (2.2.2), czyli traktując dystrybuantę warunkową jak zwykłą dystrybuantę:

oo

E(X|y = >•) = f xdF(x\y).    (7.2.7)

— OO

Tak samo definiuje się warunkowe rozkłady Y przy warunku X = x oraz warunkową wartość oczekiwaną E(Y\X = x).

Obie warunkowe wartości oczekiwane: X względem Y i Y względem X są funkcjami rzeczywistymi odpowiednio zmiennej y i x. Stąd następujące określenie.

Definicja.

Regresje

pierwszego

rodzaju

Regresjami pierwszego rodzaju nazywamy funkcje

m_y{y) = E(X|Y = y),    m₂(x) - E(Y\X = x).

Postawmy teraz następujące pytanie. Jak w najlepszy sposób przybliżyć zmienną losową Y przez zmienną losową X? Inaczej mówiąc, jak wybrać funkcję /, aby wyrażenie E(Y — /(X))² osiągnęło najmniejszą wartość? Odpowiedź na to daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 7.2.1.

Jeżeli zmienne losowe X i Y mają drugie momenty; to

minE(y - f(X))² = E(y - m₂(X))².    (7.2.8)

Przykład. Niech gęstość będzie dana wzorem (7.2,3) z poprzedniego przykładu. Podstawiając znalezioną już gęstość brzegową f_Y do wzoru (7.2.5) otrzymujemy gęstość warunkową

/

i

f(x\y) =

i-y

o

dla jc e [0,1 -y], dla x £ [0,1 — y].

Podstawiając z kolei gęstość warunkową do wzoru (7.2.6) otrzymujemy dystrybuantę warunkową

/

0

F(x\y)

\

1

dla x ^ 0, dla a: e [0,1 - y],

dla x ^ 1 —y.