str008

22

121. Niech p' będzie miarą zewnętrzną Lebesgue'a rozważaną na wszystkich podzbiorach przestrzeni A* = [0,1]. Określmy funkcje

_PliA,B) = n^m(A-B)+n'(B-A), p₃(.4,B) = p’{(A-B)U(B-A)},

dla dowolnych .4, B C [0,1]. Wykazać, że p\, p₃ są pseudometrykami.

122.    Udowodnić, że pseudometryki pi, p₃ określone na zbiorze 2t⁰'¹) x 2^°'^ i zdefiniowane w zadaniu 120 są różne.

123.    Udowodnić, że _Pi[A,B) = 0 (patrz zadanie 120) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zbiory Z\,Zi C [0,1) mierzalne w sensie Lebesgue’a takie, że p(Z\) ⁼ p(Z₃) = 0 i .4U Zi = B U Z₃.

124.    Określmy relację ~ w sposób następujący: A ~ B wtedy i tylko wtedy, gdy p(A A B) = 0, gdzie A,B £ OT(p) (patrz zadanie 120). Udowodnić, że relacja ~ jest relacją równoważności.

125.    Rozważmy rodzinę zbiorów OT(p), identyfikując zbiory A, B £ OT(p) (patrz zadanie 120), jeżeli spełniają warunek A. ~ B (patrz zadanie 124). Niech p(A, B) = /i(A A B) dla dowolnych A.B £ OT(p). Wykazać, że funkcja p jest metryką w przestrzeni OT(/t)-

126.    Udowodnić, że funkcja p : OT(/t) —> !R (patrz zadanie 125) spełnia warunek Lipschitza.

127.    Udowodnić, że. przestrzeń OT(p) z metryką p (patrz zadanie 125) jest przestrzenią zSpelną.

128.    Niech p będzie miarą Lebesgue’a określoną na 3X1 C 2^a. Wykazać, że przestrzeń OT(pj z metryką p (patrz zadanie 125) jest przestrzenią ośrodkową.

129.    Wykazać, że jeżeli A’ = [0,1], OT jest cr-cialem zbiorów borelowskich zawartych w [0,1], p jest miarą Lebesgue’a, to (OT(p),p) nie jest przestrzenią zwartą (patrz zadanie 125).

130.    Niech p będzie skończoną miarą Lebesgue‘a określoną na or-ciele OT. Rozważmy przestrzenie metryczne (OT,p) oraz (OT x OT,p), gdzie p(,4,B) = p(A A B), .4, B £ OT, p((.4i, Bi), (Aj, B₃)) = p(.4i, ,4₃) + p(Bi, Bi), Au ,4₃, Bi, B₃ € OT. Wykazać, że funkcje /,• : OTxOT — OT dla i = 1,2,3 określone wzorami /i(4, B) = AUB, /₃(.4, B) = A n B, fa(A. B) = .4 A B, są ciągle oraz funkcja / : OT —► OT określona wzorem f(A) = X — A jest ciągła.

131.    Niech u będzie skończoną miarą określoną na ir-ciete OT C 2* . Udowodnić, że funkcja zbioru u jest ciągła w punkcie A 6 OT w przestrzeni (OT.p), gdzie pf.4, B) = p(A A B), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest ciągła w 0.

132.    Niech p będzie nieujemną funkcją zbioru określoną na <r-ciele OT spełniającą warunki:

1)    P(«) = 0.

2)    ^(U?=i -⁴i) = E”*i /‘(A„), jeśli A, n Aj = 0 dla i j, i,j £ {1,2.....n).

3)    jeżeli {.4„}„₆n jest dowolnym zstępującym ciągiem zbiorów należących do OT takim, że lim_n-.<»-⁴n = 0. to lim_n_oo p(A_n) = 0.

Wykazać, że p jest miarą.

133.    Niech {i/„}neii będzie ciągiem skończonych miar określonych na cr-ciele DCTl C 2^A i dla dowolnego A £ TO niech

, ,_x ^ *■,(■*)

2-2" (i+ «/„(.Y))'

n = i

Udowodnić, że p jest skończoną miarą na OT i i/„ dla dowolnego n £ N jest funkcją ciągłą określoną w przestrzeni (OT,p), gdzie p(A, B) = p[A A B).

134.    Niech {^n}n£3 będzie ciągiem skończonych miar określonych na <r-ciele OT i niech dla dowolnego A £ OT istnieje lim„__M i/_n(.4) = i/(A) < co. Wykazać, że u jest miarą.

135.    Niech p będzie miarą bezatomową (patrz definicja 18) określoną na cr-ciele OT. Udowodnić, że dla dowolnego zbioru A £ OT takiego, że p(A) > 0 i dla dowolnej liczby b, 0 < b < p(A), istnieje zbiór 5 £ OT taki, że B C A i p(B) = b.

136.    Niech p będzie miarą skończoną określoną na cr-ciele OT C ’2^X. Udowodnić, że X = A'i, gdzie A'; O Xj = 0 dla i ^ j, Xq jest zbiorem bezatomowym (patrz definicja 18) albo Ao jest zbiorem pustym, natomiast A',- jest albo atomem albo zbiorem pustypi dla i = 1,2,...

137.    Wykazać, że zadanie 136 można uogólnić, zakładając, że miara /i jest pół-skończona, tzn., że X = At i /i(A;) < +co dla i £ W.

138.    Pokaźne na przykładzie, że jeżeli miara p nie jest pólskończona, to przestrzeni X nie można przedstawić w postaci danej w zadaniu 136.

139.    Udowodnić, że jeżeli p jest miarą bezatomową określoną na cr-ciele OT C 2^A

i p(X) = 1, to dla dowolnego ciągu {p_n}neH takiego, że 0 < p„ < 1 istnieje ciąg-zbiorów {£„}„€!( spełniający warunki p(E„) = p„ i p(Ei_tl fi Et, n ...n£t,) = p[Ek,) ■ p(Ek₃) •... ■ p[Ek,), gdzie i oraz Jki, kn,... , fc, są dowolnymi liczbami naturalnymi.

140.    Niech ,p,będzie miarą bezatomową określoną na cr-ciele OT C 2^A taką,

że7<(A) = 1. Udowodnić, że istnieje ciąg mierzalnych zbiorów    taki, że

lim„_co p(E„) = 0 oraz lim_r ^ £„=01 lim„__M E„ = X.

141.    Podać przykład miary ściśle dodatniej (patrz definicja 20).

142.    Udowodnić, że jeżeli p jest miarą skończoną ściśle dodatnią (patrz definicja 20) określoną na cr-ciele OT C 2^A’, to p jest miarą czysto atomową (patrz definicja

19).

\f 143. Niech p będzie miarą skończoną określoną na cr-ciele OT. Niech A_n,B„, A, £ £ OT dla n £ N. Wykazać, że jeśli A„ — A, B„ — B, to A„ U B_n — AU B,

A_n C\ B_n AO B, A_n - B_n A - B (patrz definicja 21).

M    ...

144.    Niech p będzie miarą. Wykazać, że jeśli A„ —- A (patrz definicja 21), to lim„_oo p(A_n) = /i(A„).

145.    Niech p będzie miarą skończoną. Wykazać, że jeżeli ze zbieżności według miary p mierzalnych zbiorów wynika zbieżność prawie wszędzie (patrz definicje 21, 22), to miara p jest czysto atomowa (patrz definicja 19).