top10

22

I Podstawowe pojęcia

V « {tak, nie} lub {prawda, fałsz} w następujący sposób. Niech X będzie przestrzenią spójną oraz niech P będzie własnością, którą punkty X mogą mieć lub nic mieć. Wówczas, chcąc dowieść, że wszystkie punkty A' mają własność P, wystarczy wykazać, że spełnione są następujące trzy warunki:

(1)    Istnieje choćby jeden punkt mający własność P\

(2)    Jeśli x ma własność P, to mają ją także wszystkie punkty z dostatecznie małego otoczenia x;

(3)    Jeśli x nie ma własności P. to nie mają jej także wszystkie punkty z dostatecznie małego otoczenia x.

Często potrzebna jest następująca, mocniejsza od spójności własność:

DtFtNiCJA (łukowa spójność). X jest łukowo spójno, jeżeli każde dwa jej punkty można połączyć łukiem (tzn. ciągłym obrazem odcinka), czyli jeśli dla każdych a, heX istnieje ciągłe odwzorowanie a: [0, 1] -* X takie, żc a(0) = a, a{\) = b:

Widać od razu, że łukowo spójna przestrzeń A’ musi być spójna. Gdyby X - AuB, przy czym A i B byłyby otwarte, niepuste i rozłączne, wtedy punktów aeA i beB nie można byłoby połączyć łukiem na mocy spójności [0, I] (gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy [0, l] = a^_l(/l)ua ‘(P) itd.).

Istnieją natomiast przestrzenie spójne, ale nie łukowo spójne. Przykładem na to jest zbiór {(x, sin logx)| x > 0} u(0x [— 1, I]) z topologią podprzestrzeni R^z:

Zobaczmy na zakończenie, jak zachowuje się spójność przy różnych operacjach. Własności topologiczne, takie jak np. spójność, nabierają wszakże po bliższym