2659241285

14

Twierdzenie 3.12 (o jednoznaczności pochodnej) Niech G będzie zbiorem otwartym w£^r, p punktem G, a f: G —> R^d dowolnym odwzorowaniem.

Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie p, to pochodna odwzorowania f w punkcie p jest wyznaczona jednoznacznie.

Twierdzenie 3.13 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r. p punktem G, a f: G —* R^d dowolnym odwzorowaniem.

Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie p, to jest w tym punkcie ciągła.

, f,g: G —* R^d dowolnymi odwzorowaniami, a są odwzorowania f + g, a-f oraz f — g. Ponadto

Twierdzenie 3.14 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, p punktem G dowolną liczbą rzeczywistą.

Jeżeli f, g są różniczkowalne w punkcie p, to różniczkowalne w punkcie p

(i) (f+g)'(p) = f'(p)+9'(p);

(ii)    (a-/)'(p) = a-/'(p);

(iii)    U - g)'(p) = /'(p) - g'(p).

Twierdzenie 3.15 (o pochodnej złożenia odwzorowań) Niech G będzie zbiorem otwartym w £' , f(G) zbiorem otwartym w £^d, p punktem G, f: G —* R^d i g: H —*    będą dowolnymi odwzorowaniami.

Jeżeli f(G) C H, } jest różniczkowalna w punkcie p i g jest różniczkowalna w punkcie /(p), to go f jest różniczkowalna w punkcie p oraz (g o /)'(p) = g'(/(p)) o /'(p).