2659241287

Pochodne cząstkc

Definicja 4.1 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^T, (e,)_je— bazą standardową w R^r, a f: G —* R dowolną funkcją.

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f ze względu na zmienną Xi, gdzie i € 1, r, w punkcie p € G, nazywamy granicę

o ile ta granica istnieje. Tę pochodną cząstkową oznaczamy symbolem §£~(p).

Uwaga 4.2 Tak naprawdę o pojęciu pochodnej cząstkowej można by było mówić dla odwzorowania f:G—> R^d. Wtedy granica byłaby wektorem, czyli mielibyśmy róumość

df ,, fdh

5S^{(p) =} lfc^(p)’-

Uwaga 4.3 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, p punktem z G, zaś f: G —* R^d dowolnym odwzorowaniem.

Jeżeli f = (fi,..., fd) jest różniczkowalne w punkcie p, to możemy utworzyć macierz pochodnych cząstkowych składowych następująco:

l&p) Sft(p)\

ft(p) ... g(p)

V!£<p) ...    p)/

Nazywamy ją macierzą Jacobiego odwzorowania J w punkcie p.

Jeżeli d = r, to możemy policzyć jej wyznacznik, który nazywa się jakobianem. Jakobian oznaczamy

D(fl.....fr)

D(x_l,...,x_ry

Uwaga 4.4 Zauważmy, że dla pochodnych cząstkowych słuszne są wszystkie działania arytmetyczne (dodawanie, mnożenie, dzielenie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę) te same jak dla pochodnej funkcji rzeczywistej.

Twierdzenie 4.6 (warunek konieczny różniczkowalności) Niech G będzie otwartym podzbiorem w £^r, p punktem z G, /: G —» R dowolną funkcją.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to dla dowolnego i € l,r pochodne cząstkowe §^-(p) istnieją oraz

^{/(P) =} (J£^<P)),'

Twierdzenie 4.7 (warunek dostateczny różniczkowalności) Niech G będzie otwartym podzbiorem w £^r, /: G —» R

dowolną funkcją.

Jeżeli dla pewnej dodatniej liczby rzeczywistej e funkcja f ma pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych w każdym punkcie pewnej kuli otwartej B(p,e) i wszystkie one są ciągle w punkcie p, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p i zachodzi następujący wzór

/'(p)h = ę^(p)/i_i.

Twierdzenie 4.8 (reguła łańcucha (wniosek z twierdzenia o pochodnej złożenia odwzorowań)) Niech G będzie zbiorem otwartym w £'. p będzie punktem tego zbioru.

Jeżeli funkcje <?i,..., g_m: G —* R są różniczkowalne w punkcie p, a funkcja f: R^m —* R jest różniczkowalna w punkcie (fli(p)t ■ • • • thn (p)). to wówczas dla funkcji f o (g\,... ,g,n)'- G —» R i dla dowolnego i £ 1, r mamy

“ dyk

d_Xi"

(p) = E£;(»i(p).....»”(p»e^Ip|-

Wniosek 4.1 Niech a ib będą liczbami rzeczywistymi takimi, że a < b, 7: ]a, 6[—* R^d dowolną krzywą, a f: R^d —> R dowolną funkcją.

Jeżeli 7 jest różniczkowalna na ]a,6[ oraz f jest funkcją różniczkowalna w każdym punkcie 7(]a, &[), to

(g o 7)'(t) = J2    *(*)•