2659241289

18

Twierdzenie 5.2 (o kierunku najszybszego wzrostu funkcji) Niech G będzie zbiorem otwartym w £', p punktem tego zbioru, a f: G —* R dowolną funkcją.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalną w p oraz V/(p)    0, to pochodna funkcji f w kierunku gradientu funkcji w da

nym punkcie p jest największą spośród wszystkich pochodnych kierunkowych w tym punkcie w kierunku wektorów o długości l|V/(p)||.

Pochodna cząstkowe wyższych rzędów

f: G —* IR dowolną

Definicja 5.3 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, p będzie punktem zbioru G, i,j € l,r funkcją.

Niech w każdym punkcie x zbiorki G istnieje §£-(x). Otrzymujemy odwzorowanie

dl

dxt

: G

R

lem zmiennej Xj tzn. gf- (p), to nazywamy ją i w punkcie p i oznaczamy

zmiennych xj i w punkcie p nazywamy pochodną

Jeżeli dla tej funkcji istnieje pochodna cząstkowa rzędu pierwszego wzg pochodną cząstkową rzędu drugiego funkcji f względem zmiennych Xj

(P)-

dxjdxi

Jeżeli i j, to pochodną cząstkową rzędu drugiego funkcji f względt mieszaną rzędu drugiego funkcji f w punkcie p.

Uwaga 5.6 Można mówić o pochodnych cząstkowych rzędu dwa dla odwzorowań f: G —» R^d (porównaj uwagi 4-2 i 5.2).

Twierdzenie 5.3 (Schwarza o pochodnych mieszanych) Niech G będzie zbiorem otwartym w £’, p punktem zbioru G, i,j 6l,r takim, że i ^ j, f: G —• R dowolną funkcją.

Jeżeli pochodne mieszane g_x ^_Xf i g_x g_x istnieją na zbiorze otwartym zawierającym punkt p i są ciągle w punkcie p, to

Uwaga 5.7 Twierdzenie Schwarza jest prawdziwe przy ogólniejszych założeniach, a mianowicie:

1.    pochodne cząstkowe    i g^g_x ■ istnieją w pewnym otoczeniu punktu p;

2.    pochodna cząstkowa g§-£— jest ciągła w punkcie p.

Oczywiście do tezy należy dołączyć warunek, że g_x J_x (p) istnieje.

Wniosek 5.2 Niech G będzie zbiorem otwartym w £'. p punktem zbioru G, i,j 6 l,r takim, że i ^ j, f: G —* R dowolną funkcją.

Jeżeli pochodne mieszane g_x J,_x i dx,iir istnieją na zbiorze otwartym zawierającym punkt p, ale nie są równe w punkcie p, to co najmniej jedna z nich nie jest ciągła w punkcie p.

Uwaga 5.8 Tak jak dla funkcji rzeczywistych możemy określić pochodne cząstkoi

Przyjmiemy oznaczenie

wyższych rzędów.

d^kf

dii, ... dxi_k

na pochodną cząstkową rzędu k względem zmiennych Xi, ...Xi_k, gdzie i₃ € l,r,s € 1 ,k (różniczkujemy funkcję względem zmiennych w kolejności od prawa do lewa jak te zmienne zapisujemy).

Dla uproszczenia zapisów bardzo często przyjmuje się następujące oznaczenie

d^af =

dMf

a*?¹ ...dx?^r’ gdzie o = (a\,..., a_r) jest wielowskaźnikiem (cii są liczbami całkowitymi nieujemnymi), a |a| = c*i + ... + a_r oraz gdy a; równe jest zero, to brak różniczkowania po zmiennej xt, a gdy cii > 1 to mamy a i razy różniczkowanie po zmiennej X{.