82302

•    Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji z tego punktu.

•    Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt.

6.8 Różniczka funkcji

Rozpatrujemy funkcję n zmiennych f : A —> 7Z określoną na zbiorze A C W oraz punkty Po. P € MA. Po = (x°i.....x°„), P = (x°, +lt_t.....x„ +/»„)

Definicja 6.21 (Funkcja różniczkowalna w punkcie)

Niech istnieją pochodne cząstkowe. §£"{Po), i= 1.....n. Funkcja f jest różniczkowalna

w punkcie Po € intA wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

f(P) - HPo) - (Po)l‘l - $h(P«V>2 -■■■- jg£(Po)ftn A    IPPol

Przykład 6.10 Zbadać różniczkowalność funkcji we wskazanych punktach:

•    /(*, y) = x² + y². P₀ = (1.-2)

•    /(*.y) = tfxy. P₀ = (0.0)

Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji)

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga 6.15 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Funkcja f(x.y) = tfxy jest ciągła w Po = (0,0), ale nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

Twierdzenie 6.6 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji)

Jeżeli pochodne cząstkowe    i = 1..... n | są ciągłe, w punkcie Po, to funkcja f jest

różniczkowalna w tym punkcie.

Definicja 6.22 (Różniczki funkcji)

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie Po. Różniczką funkcji / w punkcie Po nazywamy funkcję df(Po) zmiennych Ax, określoną wzorem:

<//(Po)(Ax,.Ax₂.....Ax„) |£(P„) Ax, + Ęf-(Pb) Ax₂ + ... + ^(P„)Ax„

OX\    0X2    OX_n

Przykład 6.11 Obliczyć różniczkę funkcji f(x.y) = >fx² + y² w punkcie Po = (-3,4).

Zastosowanie różniczki do obliczania przybliżonych wartości funkcji.

Jeżeli fiuikcja / ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

Po =    ....,    , to

/(xi +Aji.....x„ +Ax„) ss f(x\,...,x_n) + d/(Po)(Axi. Ax₂----, Ax„)

42