047 4

Ukladv liniowe 47

Jeśli jest spełniony warunek (6.25), to odpowiedź jest ograniczona: istnieje stała

•.c

Co — £] J*|^(r)| dr < oo taka, że dla wszystkich

(6.28)    |y(?)j<(?2<^sc

Spełnienie warunku (6.25) wystarcza więc, aby odpowiedź była ograniczona.

Konieczność warunku (6.25) dowodzi się wykazując, że jeśli warunek ten nie jest spełniony, to układ nie jest stabilny. Rozważymy wymuszenie o postaci:

(6.29)	u(t) - sign h(ix	-ń,
gdzie:
(6.30)	r i,	jeśli
	sign r ={
		jeśli

l e R , t\ eR

Obliczmy odpowiedź układu na to wymuszenie:

OÓ    CC?

(6.31)    y{t) = [ h(t - r)u(j)dz= J h(t - r) sign h(t_l - r)dz

—CC-    —*X'

Dla chwali t - otrzymamy:

ęę    CC    CC

(6.32)    y(r,) = JA(/|-r)sign6(/, -z)dz~ ||/t(t,-z)\dz = J|h{ć,)\dq

—CC    —CO    —CC

Jeśli warunek (6.25) nie będzie spełniony, to istnieje chwila ?,<oc taka, że v(/|) =oc. a więc odpowiedź nie będzie ograniczona, co należało wykazać.