66 (93)

Rozwiązanic

Rozwiązaniem układu równań AX - L spełniającym warunek

y =X^tNX = min

³ lA

jest wektor X - A"_{N)L (dla N = Diag( ™, i. 1).

Jeśli będziemy obliczać uogólnioną odwrotność \“,_N, zauważymy, że skoro dct( A) :•••". 0 oraz istnieją niezerowe podwyznacznilći drugiego stopnia macierzy A, to R(A) ~ r •- 2, d - n - r - 3- 2 ~ 1. Wobec powyższego macierz A należy zapisać w następującej postaci blokowej { A_t e 31 ^r'^m, At e Sv^tjn):

A =

1

■1

0

0

2

A t — [p

Ponieważ, jak łatwo można sprawdzić, /?(A,) = 2oraz istnieje (AjN~^lA[. więc

(AN"^!A^7)“ =	(AIN"^,Af)"^1 0	_ i	15 1 0“ 1 3 0
	0 0		0 0 0 .. J

oraz

					2	-2	0	15	1	0
- N^_	»A^7	(A N“	> li Ą.;„		0	6	6	1	3	0
					i	3	2	0	0	0
	'28	-4	0 ■
_ l AA	6	18	0	- [N"^1	A?	(A,N	-'a?)”		<>]
	16	4	0

Zatem

28	-4	0'	4		'2'		.X
6	1S	0	6	=	3	=	y
16	4	0	7		o		7

x = a-_(N)l

Przykład 1.23

Obliczyć uogólnioną odwrotność

dla

n

-n

i

Rozwiązanie

Ponieważ z macierzy A można uzyskać niezerowe podwyznaczniki drugiego stopnia, wiec /?(A) = 2. Zatem macierz Ae9i^² jest kolumnowo pełnego rzędu i istnieje odwrotność (A^/MA)”¹. Wobec tego

A/<m)

= (A^tM A)”¹ A⁷ M =

/	~2	1	\V
r i o o' i i i
	2	0	-i
i i — i i y	1	0	■Jj

Przykład 1.24

Rozwiązać układ sprzecznych równań

x - y - 6 >’ - 4 >

X + y — 8

w taki sposób, aby

(Je - y -6)² +(y-4)² + (Jc+ y - 8)² = min

Rozwiązanie

Warunek postawiony w zadaniu

(x~y~6)² +(y~4)² + (Jc-t->'--8)² ~ min <=> (A X- L)⁷ (A X -L) = V⁷ V - min

67