291 (14)

582 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

Funkcję okresową f(t) o okresie T spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić za pomocą szeregu Fouriera o postaci zespolonej (por. p. 9.11)

f(t)= ⁺f F_ke^ika,°‘,    (22.49)

k- — cc

gdzie co₀ = 2n/T jest pulsacją rozpatrywanej funkcji okresowej. Współczynniki F_k szeregu Fouriera (22.49) oblicza się na podstawie wzoru

n = ^?/(f)e-^j4c,0'dt,    (22.50)

¹ o

gdzie k = 0, ±1, ±2,...

Okazuje się, że gęstość widmowa funkcji okresowej przedstawionej w postaci szeregu Fouriera (22.49) wyraża się wzorem

+ cc

F((o) = 2n Z F_k5((D-kco₀),    (22.51)

k= — cc

gdzie d(co) jest funkcją impulsową Diraca zmiennej w. Gęstość widmowa funkcji okresowej jest zatem szeregiem nieskończonym impulsów Diraca o polach równych 2nF_k. a odległość między dwoma sąsiednimi impulsami wynosi a»₀ (rys. 22.19).

		> ^2*^Fo-	F i ,	i J	12*F J <o „
	K -"o		0 o	% ^2	^wo

Rys. 22.19. Gęstość widmowa funkcji okresowej

Podstawiając F(cu) z zależności (22.51) do wzoru (22.3) dla przekształcenia odwrotnego, otrzymujemy

= f F(cu)e^ju,'d(w = J e*—[ Z F_kS(to-kw₀)]dco,

- x-    -00    k = - X

czyli

f(t)= Z ^F« i e^j“'d(m-km₀)dm.    (22.52)

k ~ — oc    — oc

Biorąc pod uwagę własność filtrującą funkcji impulsowej Diraca, wyrażonej wzorem (22.25), mamy

+ X

j e^iv>'5(a) — ko)₀)d(o — e^iko>0',

wobec tego po podstawieniu powyższego wzoru do zależności (22.52) otrzymujemy wzór (22.49) dla szeregu Fouriera w postaci zespolonej.

Gęstość widmowa F{co) funkcji nieokresowych jest funkcją ciągłą pulsacji a>, w związku z czym mówimy, że funkcje nieokresowe mają widmo ciągle. Gęstość widmowa funkcji okresowych jest szeregiem nieskończonym funkcji impulsowych Diraca. Z tego powodu mówimy, że funkcje okresowe mają widmo prążkowe.

Zagadnienia dotyczące przekształcenia Fouriera funkcji nie spełniających założeń wzoru całkowego Fouriera są obszernie omówione w świetle teorii dystrybucji w pracach [41, 42],

22.6.2. Odpowiedź ustalona układu na okresowe wymuszenie niesinusoidalne

Do wejścia układu o transmitancji T(s) z rys. 22.15 doprowadzamy okresowy sygnał niesinusoidalny x=f(t) o okresie T, przedstawiony za pomocą szeregu Fouriera w postaci zespolonej (22.49). Celem obliczeń jest odpowiedź ustalona y_u(t) układu.

Gęstość widmową omawianego wymuszenia okresowego przedstawia wzór (22.51), a gęstość widmową odpowiedzi ustalonej wyznaczamy na podstawie wyrażenia (22.47), otrzymując

+ 00

Y((o) = 2nT{j(o) X F_kS{(o-ka)₀).    (22.53)

k = - oo

Po podstawieniu tego wyrażenia do zależności (22.48) i po scałkowaniu szeregu wyraz po wyrazie, otrzymuje się

y(0= X ^Fk | T(j<y)e^j<0'ó(a> — ka>₀)da),

k - — oo - oo

a stąd po -uwzględnieniu wzoru (22.25), znajdujemy

y(t)= X r(j/cco₀)F*e^J*‘°⁰'.    (22.54)

k- -oo

Otrzymany szereg Fouriera w postaci zespolonej przedstawia odpowiedź ustaloną

układu.

Przykład. Obliczymy prąd w szeregowym połączeniu elementów R, L, zasilanym napięciem okresowym u(t) o przebiegu przedstawionym na rys. 9.11 przy A = U.

Zgodnie z wynikiem otrzymanym w przykładzie z p. 9.11, napięcie zasilające przedstawia szereg Fouriera w postaci zespolonej

V U 12

T+Jr* 2. ——•

2    2    k

1*0