291 (14)

291 (14)



582 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

Funkcję okresową f(t) o okresie T spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić za pomocą szeregu Fouriera o postaci zespolonej (por. p. 9.11)

f(t)= +f Fkeika,°‘,    (22.49)

k- — cc

gdzie co0 = 2n/T jest pulsacją rozpatrywanej funkcji okresowej. Współczynniki Fk szeregu Fouriera (22.49) oblicza się na podstawie wzoru

n = ^?/(f)e-j4c,0'dt,    (22.50)

1 o

gdzie k = 0, ±1, ±2,...

Okazuje się, że gęstość widmowa funkcji okresowej przedstawionej w postaci szeregu Fouriera (22.49) wyraża się wzorem

+ cc

F((o) = 2n Z Fk5((D-kco0),    (22.51)

k= — cc

gdzie d(co) jest funkcją impulsową Diraca zmiennej w. Gęstość widmowa funkcji okresowej jest zatem szeregiem nieskończonym impulsów Diraca o polach równych 2nFk. a odległość między dwoma sąsiednimi impulsami wynosi a»0 (rys. 22.19).

> 2*Fo-

F

i ,

i

J

12*F

J

<o

K -"o

0 o

% 2

wo

Rys. 22.19. Gęstość widmowa funkcji okresowej

Podstawiając F(cu) z zależności (22.51) do wzoru (22.3) dla przekształcenia odwrotnego, otrzymujemy

= f F(cu)eju,'d(w = J e*—[ Z FkS(to-kw0)]dco,

- x-    -00    k = - X

czyli

f(t)= Z F« i ej“'d(m-km0)dm.    (22.52)

k ~ — oc    — oc

Biorąc pod uwagę własność filtrującą funkcji impulsowej Diraca, wyrażonej wzorem (22.25), mamy

+ X

j eiv>'5(a) — ko)0)d(o — eiko>0',

wobec tego po podstawieniu powyższego wzoru do zależności (22.52) otrzymujemy wzór (22.49) dla szeregu Fouriera w postaci zespolonej.

Gęstość widmowa F{co) funkcji nieokresowych jest funkcją ciągłą pulsacji a>, w związku z czym mówimy, że funkcje nieokresowe mają widmo ciągle. Gęstość widmowa funkcji okresowych jest szeregiem nieskończonym funkcji impulsowych Diraca. Z tego powodu mówimy, że funkcje okresowe mają widmo prążkowe.

Zagadnienia dotyczące przekształcenia Fouriera funkcji nie spełniających założeń wzoru całkowego Fouriera są obszernie omówione w świetle teorii dystrybucji w pracach [41, 42],

22.6.2. Odpowiedź ustalona układu na okresowe wymuszenie niesinusoidalne

Do wejścia układu o transmitancji T(s) z rys. 22.15 doprowadzamy okresowy sygnał niesinusoidalny x=f(t) o okresie T, przedstawiony za pomocą szeregu Fouriera w postaci zespolonej (22.49). Celem obliczeń jest odpowiedź ustalona yu(t) układu.

Gęstość widmową omawianego wymuszenia okresowego przedstawia wzór (22.51), a gęstość widmową odpowiedzi ustalonej wyznaczamy na podstawie wyrażenia (22.47), otrzymując

+ 00

Y((o) = 2nT{j(o) X FkS{(o-ka)0).    (22.53)

k = - oo

Po podstawieniu tego wyrażenia do zależności (22.48) i po scałkowaniu szeregu wyraz po wyrazie, otrzymuje się

y(0= X Fk | T(j<y)ej<0'ó(a> — ka>0)da),

k - — oo - oo

a stąd po -uwzględnieniu wzoru (22.25), znajdujemy

y(t)= X r(j/cco0)F*eJ*‘°0'.    (22.54)

k- -oo

Otrzymany szereg Fouriera w postaci zespolonej przedstawia odpowiedź ustaloną

układu.

Przykład. Obliczymy prąd w szeregowym połączeniu elementów R, L, zasilanym napięciem okresowym u(t) o przebiegu przedstawionym na rys. 9.11 przy A = U.

Zgodnie z wynikiem otrzymanym w przykładzie z p. 9.11, napięcie zasilające przedstawia szereg Fouriera w postaci zespolonej

V U 12

T+Jr* 2. ——•

2    2    k

1*0


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
283 (14) 566 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Twierdzenie 6 (o transformacie pochodnej). Je
287 (14) 574 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Rys. 22.13. Pochodna funkcji z rys. 22.12 Rys
284 (18) 568 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Funkcja /(t) może przybierać wartości zespolo
285 (14) wm 57 0    22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Zgodnie z określeniem
286 (16) 572 572 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Rys. 22.6. Impuls trójkątny Funkcję z rys
281 (16) 22. ZASTOSOWANIE PRZEKSZTAŁCENIA FOURIERA22.1. Przekształcenie Fouriera. Gęstość widmowa W
282 (17) 564 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera czenie wielu harmonicznych o pulsacjach zmien
288 (16) 576 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera biegunów. W dalszych rozważaniach ograniczymy
289 (15) 578 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Na podstawie wzorów (22.7) oraz (22.8) stwier
290 (16) 580 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Przekształcenie Fouriera ma pewne zalety w po
292 (17) 584 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Transmitancję widmową omawianego układu przed
293 (15) 586 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera22.7.2. Filtry idealne Idealnym filtrem dolnop
tsk1005 KOLOKWIUM Z TEORII SYGNAŁÓW 14 maja 2002r. yy 1- Obliczyć normę
201411132309 Transformata Fouriera — deskryptory Fouriera Funkie okresowe f(t) o okresie wynoszącym
kpk 3 ■ii ) : *+ .. 27 • 22 Aby ustalenia faktyczne były udowodnione, muszą spełniać warunki

więcej podobnych podstron