283 (14)

566 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

Twierdzenie 6 (o transformacie pochodnej). Jeżeli dla funkcji f(t) i jej pochodnej istnieje przekształcenie Fouriera, to ■

&{f'U)} =jtoF(a>).    (22.16)

Na podstawie definicji przekształcenia Fouriera mamy

+ 00 +00

*■{/'«}= f /'(t)e^_jw'df = J e-J“d[/(t)],

po scałkowaniu przez części znajdujemy

= lim /(f)e~^j<0'— lim /(r)e-^jtó'- f /(r)(-j")e“^j"'dt.

I-* + GT    (-> - 00    - Q0

Biorąc pod uwagę, że /(t)-»0, gdy t -» ± oo (por. p. 22.1), otrzymujemy

^{/'(0}=jcu f /(t)e'^j"'dr,

— 00

a stąd wynika wzór (22.16).

Twierdzenie o transformacie pochodnej można uogólnić dla pochodnych f^M(t) rzędu n funkcji/(f): Jeżeli dla funkcji f(t) oraz jej wszystkich pochodnych do n-tej włącznie istnieje przekształcenie Fouriera, to transformata Fouriera n-tej pochodnej

wyraża się wzorem

żF{f^M(t)} =    (22.17)

Oznacza to, że transformata Fouriera pochodnej funkcji/(t) jest równa iloczynowi gęstości widmowej tej funkcji przez jco w odpowiedniej potędze. Wzór na transformatę Fouriera pochodnych ma prostszą postać niż wzór w przypadku przekształcenia Laplace’a, bowiem nie zawiera wartości początkowych funkcji, ani jej pochodnych.

Wzór (22.17) można udowodnić przy zastosowaniu metody indukcji matematycznej.

Wzór na transformatę Fouriera całki nie jest tak prosty, jak w przypadku przekształcenia Laplace’a. Można udowodnić

Twierdzenie 7 (o transformacie całki). Jeżeli F(o) =    {f{t)}, to

Dowód tego wzoru pomijamy.

Ze względu na skomplikowaną budowę, wzór (22.18) stosowany jest rzadko. Twierdzenie 8 (o pochodnej gęstości widmowej). Jeżeli F(<x>) = &{f(t)}, to

&{tⁿf(t)}

■,d"FN ^J dw" '

(22.19)

+ QO

Różniczkując n-krotnie funkcję F(a>)= j /(f)e ^JW'df względem co, otrzymu-

. ^— 00 jemy

(22.20)

f    = (-w j lywe-^dt,

k-* w    — nr    — nn

przy założeniu, że istnieje przekształcenie Fouriera funkcji t"f (t), a po pomnożeniu stronami przez j", znajdujemy skąd wynika wzór (22.19).

Wyznaczymy transformatę splotu funkcji f(t) i g(t). Zgodnie z określeniem splotu (por. wzór (12.16)), transformata Fouriera splotu tych funkcji wyraża się wzorem

+ 00 + 00

&{ f /(t-T)0(t)dr} = 1 [ J /(t-T)^(T)dr]e ^j<0'df =

- 00 — 00 + 00 +00

= J 0(t)[ J f(t- T)e ^j<0(dt] dt.

— oo    — 00

Wprowadzając nową zmienną całkowania u = t — t, mamy dt = dw oraz t = u + t, wobec tego

7/(t-T)flf(T)dT} = 7*(*)[ 7/(^u)e^_j“⁽“^+r)]du]dr =

“®    ■“    (22.21)

= j g{T)e^_j<otdT J /(w)e^-J0,udu.

Ponieważ całki w otrzymanym wyrażeniu są transformatami Fouriera funkcji / lub g, otrzymujemy

+ X

#■{ J /(t —T)g(r)dr} = F(co)-G(<a).    (22.22)

— 00

W ten sposób udowodniliśmy

Twierdzenie 9 (o splocie). Transformata Fouriera splotu dwóch funkcji równa się iloczynowi gęstości widmowych tych funkcji.

Twierdzenie 10 (wzór Parsevala). Jeżeli F(co) = żf {f(t)j oraz istnieje całka

+ oc

| |/(t)|²dt, to słuszny jest wzór Parseuala

- X

(22.23)

j l/(t)|²dt = —- f |F(a»)|²da>.

— y    Zn _ _