281 (16)

22. ZASTOSOWANIE PRZEKSZTAŁCENIA FOURIERA

22.1. Przekształcenie Fouriera. Gęstość widmowa

W niniejszym rozdziale rozpatrywać będziemy funkcjef(t) zmiennej rzeczywistej t określone dla każdego t z przedziału — oo < t < +co. Załóżmy, że funkcja f(t) spełnia warunki Dirichleta (por. p. 9.2) w dowolnym przedziale skończonym (t_t, t₂) oraz że istnieje całka

7 \rmt.

- 00

Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym) istnienia tej całki jest, aby /(r)->0, gdy f -> ± co. Omawiane funkcje /(t) są nazywane oryginałami Fouriera.

Przy spełnieniu powyższych założeń słuszny jest wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej

f{x) = ~ f^dco    J    (22.1)

^ -CJC    - 00

Dowód tego wzoru można znaleźć w wielu podręcznikach matematyki, np. [31, 64].

Wzór (22.1) można przedstawić za pomocą dwóch zależności:

F(o))= f    /(f)e^-jeo'dt    (22.2)

- 00

oraz

/(t) = — f    F(co)e^j<0'dco.    (22.3)

2tt

Powyższe wzory przedstawiają przekształcenia całkowe znane pod nazwą przekształcenia Fouriera. Wyrażenie (22.2) nosi nazwę przekształcenia prostego, natomiast zależność (22.3) — przekształcenia odwrotnego. Funkcję F(<w) ze wzoru (22.2) nazywamy gęstością widmową lub transformatą Fouriera. W ogólnym przypadku gęstość widmowa przybiera wartości zespolone.

Gdy funkcja f(t) określona jest dla każdej wartości t > 0, natomiast f(t) = 0 dla r < 0, wówczas na podstawie zależności (22.2) otrzymuje się wyrażenie

F(a>) = J /(t)e^-j"'dt    (22.4)

o

przedstawiające jednostronne przekształcenie Fouriera. W tym przypadku gęstość widmowa F(co) jest równa transformacie Laplace’a J?{f(t)} przy s = jco. Własności jednostronnego przekształcenia Fouriera są więc podobne do własności przekształcenia Laplace’a i z tego powodu w dalszych rozważaniach przekształceniem tym nie

będziemy się zajmować.

Podstawiając

e^-jo>'= cos c«£—j sin mt    (22.5)

do wzoru (22.2), otrzymujemy

F(co)-F₁(ffl)-jF₂(a»),    (22.6)

gdzie

+ 00

F_x(a))= | /(£)cosmfdt,    (22.7)

— 00

+ 00

F₂(co) = J /(r)sincotdf.    (22.8)

- 00

Funkcje F,(co) oraz F₂(co) przedstawiają odpowiednio cosinusowe i sinusowe przekształcenie Fouriera. Na podstawie wzorów (22.7) i (22.8) stwierdzamy, że funkcja Fj (oj) jest parzysta, zaś funkcja F₂(co) jest nieparzysta względem a>, czyli

F, ( — co) = Ffco)    oraz F₂( — oj) = — F₂(oj).

Za pomocą wzoru (22.3) można wyznaczyć funkcję czasową /(f) odpowiadającą gęstości widmowej F(gj), będącą funkcją pulsacji oj. Biorąc pod uwagę, że Ae^iu>l jest zespoloną postacią wielkości sinusoidalnej o amplitudzie A, ze wzoru (22.3) wynika, że funkcja fU) jest sumą nieskończenie wielu wielkości sinusoidalnych o nieskończenie małych amplitudach — F(o>)dco, w całym widmie pulsacji od — oo do + oo.

2n

Podana interpretacja jest podobna do interpretacji Szeregu Fouriera, będącego sumą nieskończenie wielu harmonicznych. Istnieje jednak przy tym zasadnicza różnica. Szereg Fouriera będący przedstawieniem funkcji okresowej jest sumą nieskończenie wielu harmonicznych o pulsacjach oj, 2oj, 3co, ..., nu>,..., zmieniających się w sposób nieciągły (dyskretny). Natomiast całkę we wzorze (22.3) można traktować jako przedstawienie funkcji nieokresowej f{t) w postaci sumy nieskoń-