246 (22)

19. ZASTOSOWANIE PRZEKSZTAŁCENIA DYSKRETNEGO

19.1. Wiadomości podstawowe

W dotychczasowych rozważaniach omawialiśmy obwody elektryczne przy założeniu, że czas zmienia się w sposób ciągły. Jak wiadomo, obwody tego rodzaju są opisywane za pomocą równań różniczkowo-całkowych, które można sprowadzić do równań różniczkowych zwyczajnych. Obwody takie noszą ogólną nazwę układów z czasem ciąyłym.

W zastosowaniach występują również układy, w których sygnały są znane tylko w określonych (dyskretnych) chwilach, w regularnych odstępach czasu. Układy takie są nazywane układami dyskretnymi lub układami z czasem dyskretnym. Przykładem układu dyskretnego jest maszyna cyfrowa.

Proces przekształcania sygnału ciągłego w ciąg impulsów zwanych próbkami nazywa się próbkowaniem. Rozpatrzymy proces próbkowania, w którym sygnał ciągły przekształca się w ciąg implusów Diraca o różnych polach, przy czym impulsy te są przesunięte względem siebie o stałą wartość T zwaną okresem impulsowania. Należy zaznaczyć, że proces ten nie daje się w sposób ścisły zrealizować fizycznie lecz tylko w sposób przybliżony.

Funkcję impulsowania określamy za pomocą wzoru

X

<7(0= Z Ht-nT).    (19.1)

rt = — X

Funkcja o(t) jest równa zeru, z wyjątkiem punktów t = nT, n = 0, ±1, ±2,... Wzór

(19.1)    przedstawia ciąg powtarzających się okresowo funkcji Diraca. Wykres funkcji impulsowania jest przedstawiony na rys. 19.1.

Niech /(t) oznacza funkcję równą zeru dla t < 0 i ciągłą dla t > 0. Funkcja

/*(0=/(0<00= f f(nT)S{t-nT)    (19.2)

n = 0

jest ciągiem powtarzających się impulsów Diraca o polach /(0⁺), /'(7’j,.... Wzór

(19.2)    przekształca funkcję ciągłą/(t) w ciąg impulsów {/(«T)}, realizując zatem proces próbkowania.

om

il/+27l	<5|ł+n	«(f)		<5|/-2D

-2 T    -T    0    T    2T    3T t

Rys. 19.1. Wykres funkcji impulsowania Transformata Laplace’a funkcji f*(t) wyraża się wzorem

Se{f*(t)} = £ f(nT)e~^snT,    (19.3)

n = O

bowiem zgodnie z twierdzeniem o opóźnieniu (por. p. 12.2)

#{S(t-nT) j = e-^xnTY{d(t)} = e“^snT.

W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że T= 1; należy przy tym zwrócić uwagę, że wprowadzenie względnego czasu t = t/Tpozwala sprowadzić funkcję o dowolnym okresie impulsowania do funkcji o okresie impulsowania równym 1. Wobec tego podstawiając T= 1 do wzoru (19.3), otrzymujemy

= £ /.e'",    (19.4)

n — 0

gdzie /„ = f(n) oznacza wartość funkcji /(f) w chwili impulsowania t = n: oczywiście J„ = 0, gdy n < 0, a /(0 ⁺ ). gdy « = 0.

19.2. Określenie przekształcenia

Oznaczmy z = e^s, wobec tego wzór (19.4) przybiera postać

W(0}= £ /^-ⁿ-    (19.5)

n — 0

Obszar zbieżności szeregu występującego w tym wyrażeniu znajduje się na zewnątrz okręgu \z\ = r o dostatecznie dużym promieniu i zawiera punkt w nieskończoności z = oo, czyli jz| > r.

Przekształceniem dyskretnym 2C nazywamy przekształcenie, które ciągowi liczb {/„} przyporządkowuje funkcję F(z) zmiennej zespolonej z, według wzoru

(19.6)

^f(^z) = I f_nz~ⁿ-

n = 0