249 (18)

498 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego X

Splotem dwóch ciągów {J_n} i {g_n} nazywamy ciąg {h_n} określony za pomocą wzoru

(19.20)

K =fn*9n = Z fkdn-k = Z fn-kdk-

k=0    k=0

Twierdzenie 7 (o splocie dwóch ciągów). Jeżeli {/„} = F(z) i Jt{g_n} = G(z),to

&{f,*g_n} = F(z)G(z).    (19.21)

Zgodnie z określeniem splotu mamy

n    oo

*{/■*&.} =    I    I fn-k9k}    >

* = 0    *=0

bowiem/„_* = 0 dla k > n. Na podstawie określenia przekształcenia 2t otrzymujemy

Z fn-k9k] = Z i^Z" Z /«-*»*) = Z 9* Z /n-*²" = Z

k = 0    n = 0    * = 0    *=0    n=0    fc = 0

a na podstawie twierdzenia o ciągu przesuniętym {/„    F(z), wobec tego

(19.22)

fc = ()

skąd wynika wzór (19.21). Omawiane twierdzenie jest analogonem twierdzenia Borela dla przekształcenia Laplace’a.

Przykład 5. Rozpatrzymy splot (n»e(n)} ciągów {«) i («(n)}, gdzie e(n) jest dyskretną funkcją jednostkową (por. (19.7)). Zgodnie z zależnościami (19.8) i (19.9) mamy

% W")} =    oraz    =

wobec tego na podstawie wzoru (19.21) otrzymujemy

z z z²

(z-l)²z-l    (z-1)'”

a z drugiej strony, biorąc pod uwagę wzór (19.20), mamy

n    n

n*e(n) = £ ke(n-k) = £ k,

k=0    Ł=1

gdyż F.(n-k) =1 dla k = 1, 2,..., w, wobec tego

"    z²

Otrzymuje się zatem taki sam wynik, jak w przykładzie 3.

X {n * e(zt)} =

19.4. Przekształcenie odwrotne

Przekształceniem odwrotnym dyskretnym nazywamy przekształcenie, które funkcji zmiennej zespolonej F(z), dającej się przedstawić w postaci szeregu (19.6), przyporządkowuje ciąg liczbowy {/„}. Przekształcenie odwrotne dyskretne można wyrazić

wzorem

{f_n} = *T^l{F(z)}.    (19.23)

Omówimy dwie metody wyznaczania oryginału dyskretnego dla transformat F(z) o postaci funkcji wymiernych

^m=m    ⁽¹⁹-²⁴⁾

gdzie funkcje G(z) i H(z) są wielomianami:

G(z) = 6_vz^v + ó_v_₁z^v_1 +... +b_lz + b₀,

//(z) = a_mz^m + a_m-₁z'"-¹ + ...+a₁z + a₀,    ⁽    ’

przy założeniu, że m > v. Celem naszym będzie zatem wyznaczanie ciągu liczbowego {/„} odpowiadającego transformacie F{z).

19.4.1. Metoda rozwinięcia w szereg potęgowy

W tej metodzie mnożymy licznik i mianownik transformaty (19.24) przez z'

wobec tego

F{z) =

hz^v-^m + b_v-,z

v — m— 1

+... +6]Z

¹ ~^m + b₀z~

a_m + a_m-tz ¹ +... +a_tz^{1 m} + a₀z~

(19.26)

Dzieląc następnie licznik tego wyrażenia przez mianownik, otrzymuje się szereg (19.6), którego kolejne współczynniki są wyrazami poszukiwanego ciągu {/„}.

Przykład 1. Wyznaczymy oryginał transformaty

z²    ’²

_{F{:) -}-₌ —2:-.

(z— l)(z —3)    z² — 4z + 3

Mnożąc licznik i mianownik przez z^-2, mamy

1

F (z) =-----,

I — 4z"¹ + 3z^{_ 2}