251 (16)

502 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego

odstępie At. Jednym z najprostszych sposobów dyskretyzacji jest zastąpi . pochodnych przez ilorazy różnicowe.

W celu ilustracji tego zagadnienia rozpatrzymy układ opisany równany różniczkowym pierwszego rzędu

dx

_dt +ax(t) = f(t), a> 0,    (I9j,j

gdzie /(t) jest funkcji znaną. Zastąpienie pochodnej przez iloraz różnicowy daje

+ ux(t) = /(r).

x(t + At)-x(t)

At

skąd

(19.32)

x(t + At)—(1 — oAt)x(t) — f{t)At.

Po podstawieniu t = t_k, wprowadzeniu oznaczeń: x_k = x(f_Ł),/_t = f(t_k), a = l-_fl& i wzięciu pod uwagę, że t_{k + i} = t_k + At, przedstawiamy wyrażenie (19.32) w postaci

** + i-ax_k = f_k.

Jest to równanie różnicowe.

Ogólnie, układy dyskretne są opisane równaniami różnicowymi.

Postać równania różnicowego /c-tego rzędu o stałych współczynnikach a_m, m =0, 1, 2,..., k, przedstawia wyrażenie

(19.33)

^kX_n+k + a_k-₁x_n+k__i + ...+a_lx_n+i + a₀x_n=: f„,

przy czym n = 0, 1, 2,..., a warunkami początkowymi są znane wartości x₀, x,,

*₂..... **-i-

Równania różnicowe występują — jak widzieliśmy — przy dyskretyzacji równań różniczkowych. Spotyka się je również przy opisie niektórych układów, na przykład układów drabinkowych.

19.5.2. Rozwiązywanie równań różnicowych

W celu rozwiązania równania różnicowego (19.33) z warunkami początkowymi x₀, Xj, x₂,..., x*_, zastosujemy dyskretne przekształcenie 2t, oznaczając X(z) = ^{x_n}. Na podstawie twierdzenia o ciągu przesuniętym (19.14), mamy

%{x_n+m} = z^mX(ź)-^mY_ś x_iz^m~ⁱ, m= 1,2,..., k.

1 = 0

Po przekształceniu równania (19.33) otrzymuje się

k- 1

k-2

G(z) = F(z) + a_k ^ x_tz^k '+«*_, I x_iz^k f 1 + ...+a₁x₀z,

i ~ 0    i = 0

_zv czym po prawej stronie tego wyrażenia występują warunki początkowe x₀, ’ ., x_k -1, skąd po uporządkowaniu według potęg znajdujemy

G(z) = F(z) + c_kz^k + c_k__lz^k~' + ... +c_xz.

odzie

c, = a_xx₀ + a₂x_l +... +a_kx_k-i,

^C2 = «2^X0 + ^a3^Xl + ---+^flt^X*-2»

= a_kx₀.

Transformatę rozwiązania znajdujemy z zależności (19.34):

X(z) =

G(z)

H(z)’ przy czym

H(z) = a_kz^k + a_k-iz^k 1 + ... + a_lz + a₀,

a rozwiązanie wyznaczamy, obliczając dyskretny oryginał tej transformaty.

Przykład 1. Wyznaczymy rozwiązanie równania różnicowego drugiego rzędu: x._t2 — i +

+ 8.\„ - z warunkami początkowymi ,v„ = I. v, = 2, przy czym e. = t:(n), n = 0, 1, 2.....jest dyskretną

funkcją jednostkową (por. wzór 19.7).

Na podstawie wzoru (19.14) mamy

=z-LX(-)-x₀-x_l:-'] = z²X(z)-z²-2z.

/‘.r..,! =:[Y(.-)-.x_nT = : XI:)-:.

Przekształcając rozpatrywane równanie przy uwzględnieniu zależności (19.8). otrzymujemy

z² X (z) - z² - 2z - 6 [z X (z) - z] + 8X (z) =    ,

a stąd

X(z) =

^|r

19.5. Równania różnicowe

503

z + (z²—4z)(z— 1)

(z— l)(z —2)(z —4)

Po obliczeniu oryginału tej transformaty za pomocą metody omawianej w p. 19.4.2, znajdujemy wyrazy

oryginału j x„ | w postaci

¹ , 2

x„ = - + 2"-'+--4»    n = 0. I, 2, 3,...

Łatwo sprawdzić, że powyższe wyrażenie spełnia równanie różnicowe i warunki początkowe.