248 (23)

496    19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 3

Zgodnie z określeniem przekształcenia d mamy

*{/--} = £/,-■,*" = t L-_mZ~\

n=0    n-m

bowiem = 0 dla n < m, czyli

3T{f_n-_m} = z-^m £ fn-_mz-*-^m\

n = m

skąd po podstawieniu k = n — m i uwzględnieniu zależności (19.6) wynika wzór (19.13).

Natomiast

m _{+ m}} = i fn^Z~ⁿ = 2" £ f_{n + m}Z-^^m\

n = 0    n = 0

a po podstawieniu & = n + m, otrzymuje się

d{f_n+m} = z" £ /*e~* = z^m[ £    X /**"*]»

lc - m    k = 0    * = 0

skąd wynika wzór (19.14). będący analogonem twierdzenia o transformacie pochodnej dla przekształcenia Laplace‘a.

Przykład 2. Stosując wzór (19.13) i wykorzystując zależność (19.9), znajdujemy

Twierdzenie 3 (o transformacie ciągu sum). Jeżeli d{f„) = F(z\ to

-V<z).    (19.15)

0    ^{Z 1}

n

Wprowadzając oznaczenie g„ = X A> ^mamy f_n = g_n-P„-i> ^w°bec tego na

* = o

podstawie twierdzeń o liniowości i o ciągu przesuniętym mamy

m} =

a stąd otrzymuje się wzór (19.15)

Przykład 3. Na podstawie wzoru (19.15) otrzymujemy przy wykorzystaniu zależności (19.9)

*{£*}-*{ i*}=rrr*w=:rip-

_k=l    4 = 0    ^{z 1}    l^z— W

Twierdzenie 4 (o różniczkowaniu transformaty). Jeżeli % {/„} = ^F(*)• ^t0

(19.16)

dz

f\    ^df(2)

= “^z-

Na podstawie określenia przekształcenia 3t mamy

&{nfn} = I ⁿfn^Z~" = ~^ZT-{ I te~^K)• (1 = 0 ^UZ u = 0

skąd wynika zależność (19.16).

Przykład 4. Wykorzystując wzór (19.9), znajdujemy na podstawie zależności (19.16)

₂₎ d[ z 1 z(z + l)

(z-1)³

Twierdzenie 5 (o zamianie zmiennej z na az). Jeżeli &{f_n} ~ ^(^z)> ^t0 ^^{a sta}^^eJ

a ź 0 jest

2r{a-ⁿf_n) = F(az).    (19.17)

Zgodnie z określeniem przekształcenia 2C mamy

00    00

2{a~'f_n} = I a-ⁿf_nz-ⁿ= X f_n(azy\

n=0    n=0

a stąd wynika wzór (19.17).

Teraz podamy dwa twierdzenia graniczne.

Twierdzenie 6a. Jeżeli 2f{f_n} = F(z), to

lim F(z)=f₀.    (19.18)

Z-+ 00

Twierdzenie 6b. Jeżeli istnieje granica lim /„, to

n-* ot>

lim /„ = lim (z-l)F(z).    (19.19)

n~* cc    1 <z~* 1

Dowody tych twierdzeń pomijamy. Należy zwrócić uwagę, że z istnienia granicy lim (z-l)F(z) nie wynika istnienie granicy lim /„. Na przykład dla ciągu

1 < *-• 1    n-* oO

o ogólnym wyrazie /„ = (— 1)" nie istnieje granica lim /„, natomiast

n-* oc

1

^{(-1)"}= £ (-!)"!-"=    J “ j

n = O

Z+ 1

dla |z| > 1 i na podstawie wzoru (19.19) otrzymałoby się błędny wynik

lim (z-l)F(z) = 0.

1<:*1

Twierdzenia te są analogonami twierdzeń granicznych dla przekształceń Laplacea (por. p. 12.2).