253 (16)

506 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego $f

Dyskretną odpowiedzią impulsową {r_n} układu dyskretnego nazywamy jego odpowiedź dyskretną na wymuszenie o postaci dyskretnej funkcji impulsowej. Jest to oczywiście ciąg impulsów r₀, r,, r,_____ przy czym r_n = 0 dla n < 0.

506 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego $f

-3

N

1

-2-10 12

Rys. 19.3. Wykres dyskretnej funkcji impulsowej

Dyskretna odpowiedź impulsowa jest w ogólnym przypadku rozwiązaniem równania różnicowego k-tego rzędu:

^ak^rn + k+^ak-l>"n + k-l + •• • +^fllfn + 1 +«o^rB ⁼    (19.38)

gdzie n = 0, 1,2,..., otrzymanego z wyrażenia (19.33) po podstawieniu x_m = r_m oraz f_n — ó_n, z zerowymi warunkami początkowymi.

Przykład 1. Wyznaczymy dyskretną odpowiedź impulsową, będącą rozwiązaniem równania różnicowego r„₊₁— 2r„ = <5, z zerowym warunkiem początkowym r₀ = 0.

Ze wzoru (19.14) wynika -Z{r„₊,} = zR(z), wobec tego po przekształceniu rozpatrywanego równania z uwzględnieniem zależności (19.37), znajdujemy zR(z)—2R(z) = 1, skąd R(z) = l/(z—2), a na podstawie wzoru (19.11) otrzymujemy ogólny wyraz dyskretnej odpowiedzi impulsowej {r„}:

r„ = 2"'^łe(n —1) = 2"^_1,    n=l,2,...

Zgodnie z określeniem transmitancji dyskretnej przy uwzględnieniu wzoru (19.37) stwierdzamy, że transformata dyskretnej odpowiedzi impulsowej układu dyskretnego jest równa jego transmitancji dyskretnej T(z), czyli

R(z) = 3T{r_n} = T(z).    (19.39)

Transmitancję dyskretną można zatem wyznaczyć na podstawie równania różnicowego (19.38) z zerowymi warunkami początkowymi, przekształcając je za pomocą transformacji W wyniku otrzymuje się

T(z) = R(z) =

1

a_tz* a_k _, z^k ~¹ -f ... + a, z + a₀'

Stwierdzamy zatem, że transmitancja dyskretna układów opisanych równaniami różnicowymi jest funkcją wymierną.

Wymuszenie dyskretne {x„} można przedstawić w postaci sumy

507

19.6. Transmitancja dyskretna. Dyskretna odpowiedź impulsowa

. 1' Or-S |
	... .			III.
0	i 2	Z n 0	1 2	Z 5 6 n

rvs. 19.4. Ilustracja dyskretnej odpowiedzi    (b) na wymuszenie o postaci przesuniętej funkcji

impulsowej j) (a)

przy czym {Ó„__k} jest dyskretną funkcją impulsową przesuniętą (rys. 19.4a). Odpowiedzią dyskretną układu na wymuszenie o postaci    jest {/•„_*}, jak

to ilustruje rys. 19.4b. Wobec tego odpowiedź układu na wymuszenie {x_n} jest - zgodnie z zależnością (19.40) — równa sumie odpowiedzi na poszczególne impulsy, więc

OD

{y„} = Z x_k{r_n__k},    (19.41)

k = 0

czyli n-ty wyraz tego ciągu

k' n-k-

y„ = Z x>r.

k = 0

Biorąc pod uwagę, że r_n-_k = 0, gdy k > n, mamy

n

y_n = Z ^xk^rn-k-

Na podstawie podanego w p. 19.3 określenia splotu stwierdzamy, że odpowiedź dyskretna (y„j układu na wymuszenie [.x„j jest równa splotowi ciągów {x„} i {r„},

czyli

{>’„} = (wl-    (19.42)

Wobec tego — zgodnie z twierdzeniem o splocie dwóch ciągów' — transformata odpowiedzi dyskretnej (yj jest równa iloczynowi transformat wymuszenia dyskret-

nego I	,v„; i dyskretnej odpowiedzi impulsowej Jrn). izn.
	>y (,, ). _ » i y \. y i• "Z (-'■Mj ~Z i'nh	(19.43)
czyli	Y (z) = X(z)R(z).	(19.44)

Wyprowadzone w tym punkcie wzory są analogonami zależności wyprowadzonych w p. 16.7.3.

Między dyskretną odpowiedzią impulsową {r_n} a odpowiedzią impulsową r,(f), rozpatrywaną w p. 16.7, istnieje prosta zależność. Podobnie jak w p. 19.1.