286 (16)

572

572

22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Rys. 22.6. Impuls trójkątny

Funkcję z rys. 22.8 o postaci sumy trzech przesuniętych funkcji impulsowych Diraca przedstawia

wobec tego transformata Fouriera przybiera postać

9 {/"(*)} = -{5(t + £)} - 2F f {Ht -e)}] =    -2+e -

f"[t)

~2i

E    t

Rys. 22.8. Pochodna funkcji z rys. 22.7

Rys. 22.7. Pochodna funkcji z rys. 22.6 zgodnie ze wzorem (22.26), czyli

Z drugiej strony, na podstawie wzoru (22.17) mamy

& {/"(*}) = (jw )²F{u>),

wobec tęgi)

(jo»)²F(oj) = -e^j“⁵ _e'ⁱ“⁵)²<

czyli

AA /e^j"z—AA . ,<«£ F(to) = —(----) = —"jSin²—-.

rr»*\    2t    I r/n*    2

m

			fU 1	-A
A/e
				0 r*

Rys. 22.9. Impuls o postaci zęba piły

Rys. 22.10. Pochodna funkcji z rys. 22.9

Przykład 4. Wyznaczymy gęstość widmową impulsu przedstawionego na rys. 22.9.

Po zróżniczkowaniu funkcji f(t) z rys. 22.9 otrzymuje się impuls prostokątny oraz funkcję impulsową Diraca (rys. 22.10). Impuls prostokątny można przedstawić jako różnicę dwóch przesuniętych funkcji jednostkowych, wobec tego na podstawie rys. 22.10 otrzymujemy

e

a stąd

f'(t)+A5(t) = —[f(t+e)- l(r)]. s

Po zróżniczkowaniu prawej strony tego równania względem czasu, mamy

dr    £

bowiem pochodną funkcji jednostkowej jest funkcja Diraca. Przekształcenie Fouriera otrzymanego równania przybiera postać

j4^-[/'{0 + ^ W = -[*■ {*<t + «)} - ^ {««}] = -(e^ - 1 )•

(dr    J £    £

Na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej znajdujemy

? j^Lf W + -4<5(r)]} =    {/'(r) + A<5(t)} = ja>l&'{f'(t)} + A&{ó(t)}'] = jft>[>F(m)+/i],

wobec tego

A

j<a|>F(w) + /4] =-(eJ"'-l),

£

a stąd

A 1 +jtO£—c^j<M F(tu) =---——.

£ (O

Przykład 5. Wyznaczymy gęstość widmową sinusoidalnego sygnału impulsowego przedstawionego na rys. 22.11.

Różniczkując funkcję f(t) z rys. 22.11 otrzymujemy funkcję z rys. 22.12, a po powtórnym zróżniczkowaniu funkcji'/(r) znajdujemy funkcję przedstawioną na rys. 22.13, zawierającą sinusoidalny sygnał impulsowy oraz dwie przesunięte funkcje Diraca o polu A. Na podstawie rys. 22.13 otrzymujemy

(r) — —/(r) +/4ó^r ++/ló^r — —