293 (15)

586 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

22.7.2. Filtry idealne

Idealnym filtrem dolnoprzepustowym nazywamy układ o transmitancji widmowej T(joj), której moduł i argument wyrażają się wzorami

(22.58a)

(22.58b)

A(co) = \T(]co)\ =

A,    gdy    |co| < co₀,

0,    gdy    \(o\ > w₀;

(p(co) = argr(ja>) = -a>t₀.

Charakterystyki: amplitudową i fazową idealnego filtru dolnoprzepustowego przed

stawia rys. 22.23.

A    A[to)

Rys. 22.23. Charakterystyka amplitudowa A(<x>) i fazowa ę(w) idealnego filtru dolnoprzepustowego

Wyznaczymy odpowiedź impulsową r_a(f) idealnego filtru dolnoprzepustowego. Zgodnie z rozważaniami w p. 22.5, gęstość widmowa odpowiedzi impulsowej omawianego filtru wynosi

R_ó(oj) = T(jco) = A(a>)e~^i0J'°,    (22.59)

przy czym funkcja A(a>) jest określona wzorem (22.58a). Odpowiedź impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego otrzymujemy wprost na podstawie określenia przekształcenia odwrotnego (22.3); mamy

1 +wo

^rt(0 = y f y4_e^j"(*~*⁰⁾dco,

^ -0)0

skąd po wykonaniu obliczeń znajdujemy

^ ^ajosincy₀(f —1₀) ^{ra(f) = _}T" OJo(t-t₀) '

Przebieg tej funkcji jest przedstawiony na rys. 22.24.

Na podstawie rys. 22.24 stwierdzamy, że funkcja r_d(t) ma różne od zera wartości dla / < 0, a więc przed załączeniem wymuszenia w chwili t = 0. Jest to niemożliwe,

Rys. 22.24. Przebieg odpowiedzi impulsowej idealnego filtru dolnoprzepustowego

r

587

22.7. Przyczynowość i realizowalność fizyczna

bowiem oznaczałoby, że skutek wyprzedza w czasie przyczynę, czyli inaczej mówiąc, że układ wcześniej przewidywałby pojawienie się wymuszenia. Sytuacja taka nie może mieć miejsca w układach rzeczywistych, a to oznacza, że filtr dolnoprzepus-towy jest fizycznie nierealizowalny.

Układy o własnościach idealnego filtru byłyby bardzo pożądane w zastosowaniach praktycznych. Jednakże ze względu na nierealizowalność takich filtrów musimy zadowolić się układami, które mają charakterystyki zbliżone do filtru idealnego. Z tego powodu ważnym zagadnieniem jest aproksymacja idealnych charakterystyk częstotliwościowych, na przykład aproksymacja Butterwortha lub Czebyszewa. Szereg wiadomości na ten temat można znaleźć w pracach [5, 25, 46].

22.7.3. Kryterium Payley’a-Wienera

Stwierdziliśmy uprzednio, że odpowiedź realizowalnych fizycznie układów musi równać się zeru przed załączeniem wymuszenia, bowiem skutek (odpowiedź) nie może wyprzedzać w czasie przyczyny (wymuszenia). Tę własność układów fizycznych nazywamy warunkiem przyczynowości.

Warunek reatizowalności fizycznej układu można zatem sformułować następująco: Odpowiedź układu fizycznie realizowalnego musi być przyczynowa, a więc jeżeli do układu doprowadza się wymuszenie w chwili t = 0, to odpowiedź układu musi równać się zeru dla t < 0.

Sformułowany warunek realizowalności dotyczy dziedziny czasowej. Z warunku tego korzystaliśmy już wcześniej (w p. 16.7) przy omawianiu odpowiedzi jednostkowej i impulsowej układów liniowych.

Warunek realizowalności układów w dziedzinie częstotliwościowej jest ujęty

w postaci

Kryterium Payley’a-Wienera. Warunkiem koniecznym i dostatecznym realizowalności fizycznej charakterystyki amplitudowej A(w) układu liniowego jest istnienie całki

(22.60)

przy założeniu, że funkcja A (co) jest całkowalna z kwadratem w przedziale nieskończonym, czyli gdy

(22.61)

| A²(cu)d«<oo.

Dowód tego kryterium pomijamy.

Gdy nie jest spełnione kryterium Payley’a-Wienera, wówczas nie jest spełniony warunek przyczynowości.

Ze wzoru (22.60) wynika, że moduł A{cu) transmitancji widmowej może być równy zeru dla pojedynczych pulsacji, lecz nie może się równać zeru w skończonym