282 (17)

564 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

czenie wielu harmonicznych o pulsacjach zmieniających się w sposób ciągły w całym widmie pulsacji.

Wiele informacji na temat przekształcenia Fouriera można znaleźć w pracach [10, 41, 42, 53].

22.2. Podstawowe wzory i twierdzenia

Przekształcenie Fouriera oznacza się często za pomocą symbolu przekształcenie Fouriera przedstawia wzór

^{/(t)}=F(ft>)= J /(r)e^_j"'dt    (22.9)

- oo

natomiast przekształcenie odwrotne ma postać

J +00

¹ {f(®)} = /(O = 2^ f F(tu)e^j“'d(u.    (22.10)

W dalszym ciągu omówimy kilka podstawowych twierdzeń dotyczących przekształcenia Fouriera przy założeniu, że wszystkie rozpatrywane funkcje zmiennej t spełniają założenia wzoru całkowego Fouriera w postaci zespolonej.

Twierdzenie 1 (o liniowości). Jeżeli istnieją przekształcenia Fouriera funkcji f(t), g(t) zmiennej rzeczywistej t, to dla dowolnych stałych a, b mamy

.jr{af(t) + bg(t)} = a3F{f(t)}+bF{g{t)}.    (22.11)

Oznacza to, że przekształcenie kombinacji liniowej funkcji równa się kombinacji liniowej przekształceń tych funkcji.

Dowód wzoru (22.11) wynika natychmiast z faktu, że przekształcenie Fouriera ma postać całki.

Twierdzenie 2 (o zmianie znaku zmiennej). Jeżeli F{uJ) = -^{f(t)}, to

&{f{-t)} = F(-(o).    (22.12)

Zgodnie z określeniem przekształcenia Fouriera mamy

■^{/(-0}= J /( —t)e~^j“'dt,

— 00

a po podstawieniu t = — z, otrzymujemy

J^- /(r)e^j“^t( —dr) = J /(ije-^-^dr,

+ 00 -

skąd wynika wzór (22.12).

22.2. Podstawowe wzory i twierdzenia    565

Twierdzenie 3 ( o podobieństwie). Jeżeli F(a>) = <^ {/(*)} >^to dla dowolnej stałej

a > 0

^ {/(«)}-i f(^).    (22.13)

W celu udowodnienia tego twierdzenia, piszemy

&{f{at)} = f /(flOe"^j“'dt

- 00

i przyjmując nową zmienną całkowania r = ar, otrzymujemy ^{/(ar)} = J /(T)e^_jft-dr =-F^\

a « W

zgodnie z określeniem przekształcenia Fouriera.

Twierdzenie o podobieństwie nazywane jest również twierdzeniem o zmianie

skali.

Twierdzenie 4 (o przesunięciu). Jeżeli F(a>) = !F {/(t)}, to dla rzeczywistej wielkości co₀ mamy

2F {e^jcUo'/ (t)} = F(co —co₀).    (22.14)

Twierdzenie to otrzymuje się bezpośrednio na podstawie określenia przekształcenia Fouriera; mamy bowiem

+ 00

JF{e^im,f(t)} = J /(t)e"^j("~“^0,'dt,

— 00

skąd wynika natychmiast wzór (22.14).

Twierdzenie 5 (o opóźnieniu). Jeżeli F(<w) = & {/(r)}, to dla rzeczywistej wielkości t₀

F{f(t-t₀)} = e~^ia,aF(w).    (22.15)

Zgodnie z określeniem przekształcenia Fouriera, mamy F{f(t~t₀)} = f /(r-t₀)e-^J"‘dt,

— oo

a po podstawieniu x= t — t₀, znajdujemy

=e'^j“'° f /(t)e-^j-dr,

skąd od razu wynika wzór (22.15).