s56 57

56

W zadanich 1—8 skorzystamy z twierdzenia de 1’Hóspitala: Jeżeli 1° funkcje oraz {7^ są określone w pewnym sąsiedztwie punktu Xo,

2° lim f(x) = lim h(x) — 0 albo lim f(x) = lim h(x) = 00 (—00 lub 00),

X —>X()    X—rX()    X—*Xo    X—*Xq

/'(*)

h'(x)

3° istnieje granica lim

X—?X(I

(właściwa lub niewłaściwa),

to istnieje również granica , oraz

lim

*-**o

f(x)

h(x)

lim

x —>x_a

/'(»)

h'{x)

Twierdzenie de 1’Hóspitala jest również prawdziwe dla granic jednostronnych, a także dla granic funkcji, gdy x —> —00 lub gdy x —> 00.

Rozwiązania

1. Jest to wyrażenie nieoznaczone Stosując tw. de 1’Hóspitala mamy

2.

e — e    e + e

hm - = lim -

x —0 X    x—rO 1

2. Mamy tu do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym a więc

1

lim

x—oc ln(l + x) na podstawie tw. de 1’Hóspitala.

= lim

l+x

= lim (1 + x) = 00,

3. Jest to wyrażenie nieoznaczone postaci ”0 • oo“. Aby zastosować twierdzenie de 1’Hóspitala, wyrażenie nieoznaczone ”0 • 00“ należy sprowadzić do postaci ”jj“ lub    Mamy więc

lim \fx ln x = lim —r— — lim —r-^—7

x—*0+    x^0+ -y=    x—*0+ —    1

l

= lim —— = lim (—2y/x) = 0.

x—»0+ —    x —0+

2Xy/X

4. Podobnie jak w poprzednim zadaniu mamy wyrażenie nieoznaczone ”0 • oo“. Wyrażenie to przedstawiamy w równoważnej postaci ” — “ i potem dwukrotnie

stosujemy twierdzenie de 1’Hóspitala, otrzymując:

lim x⁴e ^2ir

, x⁴    4x³

hm r r = lun -—5-5-»oł e^zi    r.—nx> Axe-¹

lim

x—foc

lim

X —*oc

2x

Axe^2rl

lim

2e²'

= 0.

Jest to wyrażenie nieoznaczone postaci ”oo — oo“. Przekszałcamy je do post; ” ~ “ sprowadzając do wspólnego mianownika i potem stosujemy twierdzenie 1’Hóspitala, otrzymując:

Urn (± - -U -

J —0 \ X¹ xtgx )

lim    = lim

- 1

lim

-o x-igx ..i-o 2xtgx + 1 — cos² x

o 2x sin x cos x + x'² 2 sin x cos x

= lim

= lim

sin" x

-o x sin 2x + x²

o sin 2x + 2x cos 2x + 2x sin 2x

= lim

ji—o sin 2x + 2x cos 2x 4- 2x 2 cos 2x

= lim

o 2 cos 2x + 2 cos 2x — 4x sin 2x + 2

<>. Jest to wyrażenie nieoznaczone ”1°°“; można je przekształcić do postaci:

lim ln(cos2x)*'

j: — 0+

e

_1_    yr

lim (cos 2x) ’= lim e^ln(cos2j:)

x—x—*0⁺

Obliczymy teraz granicę potęgi sprowadzając ją do postaci ”2“, a następu stosując twierdzenie de 1’Hóspitala otrzymujemy

lim ln(cos 2x)^r o+

= lim — ln cos 2x

0+ X¹

, ln cos 2x

lim -^-

j,_o+ x-

_2 sin 2.r

lim .......^c<^-'-

j:-*0+    2x

—2sin2x = lim -

a:—o+ 2x

lim

j: —0+

—4 cos 2x 2

-2,

a stąd mamy

lim (cos2x)^;“' = e^-2. *->o+

7. Mamy wyrażenie postaci ”0°“. Postępujemy podobnie jak w zadaniu poprzei nim, mianowicie

—4—    , T+fc;    lim lna-¹^¹

lim x    = lim e^Inx    = _ex—o+

x —0+    x—t 0+