233 (42)

METODA Fir.ME.NTU SKOŃCZONEGO 10.3/233

Funkcje ę^0} i v^u) są przedstawione na rys. 10.11. Tak więc V*** rozpinamy na funkcjach

ę⁽-^!,    1 = 1,m.    v^,<0 »    1=0,mH-1

Ma tym kończymy konstrukcje konkretnych przestrzeni J'^^}. Podamy teraz tw ierdzenie o oszacowaniu błędu interpolacyjnego w tej przestrzeni.

TWIL RDZENIE J0.23

Jeśli u € H¹¹ r\ //₀^l, k > 0 i parametr)' węzłowe zawierają pochodne rzędu nie większego niż k, to

Mfe*^+l^i!«iŁ_+I, s = o, 1

gdzie u_h jest interpolacja funkcji u należącą do Pjj⁴⁵, M zaś jest stałą dodatnią niezależną od h, h = /y(m+1).    3

Twierdzenie to podajemy bez dowedu. Dodajmy tylko, że gdy funkcja u na każdym elemencie e_; należy do C^t+:[e_f]> to dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia 10.2 i (z użyciem wielomianów /.-tego stopnia).

Przechodzimy do zapowiedzianego równania czwartego rzędu. Rozpatrzymy zagadnienie

\D²(p(x)D³u)+c(x)u = /(x), .x e (0,1)

[u (x) = Du (x) = 0 dla x = 0 i /    (10.100)

Zakładamy ciągłość funkcji f,p, c oraz. spełnienie warunków: p(x) p₍, > 0. c l.v) j 0. Zapiszemy powyższe zagadnienie juko równanie wariacyjne. Zasadniczymi są tuta; warunki brzegowe, wystąpią one wobec tego w definicji przestrzeni, w której będzie określone równanie wariacyjne. W tym przypadku przyjmujemy

''a V przestrzeń i zadanie wariacyjne odpowiadające zagadnieniu (10.100) jest następujące:

wyznaczyć taką funkcję u e H* (0, /), że

t    1

u (u, c) = | (p (x) D²uD²v + c(x) uv) dx = ! (r) I ft dx , u € fil b    ó

(10.101)

Skonstruujemy MES dla tego zadania. Niech odcinek [0,/] będzie podzielony “a elementy e_l tak jak w poprzednich zadaniach. Pytanie: jaką tutaj wybrać Przestrzeń V_h1 Ponieważ zadanie (10.101) jest rozważane w JI*. to wybrana przejrzeń elementu skończonego ma się składać z funkcji ciągłych wraz z pierwszą Pochodną. Taką przestrzenią jest Hermite*owska przestrzeń elementu skończonego określona wvżei. uzupełniona o warunki brzegowe dla pochodnej, czyli

= {i»:c c C^:[0, /] ₅    u|_#| e    , i = 0.....m ; v (x) =

— Dv (x) = 0 dla x — 0, /}