skanowanie5 (3)

Lista szósta

2-1. Korzystając * twierdzenia o istnieniu J jednoznecznosa dla równań różniczkowych Halowych wyznaczyć przedziały, na których podane w>ę^ł«ła początkowe mają jednoznaczne rozwtąaania:

a)    (*^J-2)y"-(2r- l)y' + y = bf. f(l)»l.rft)*<fc bMl-ShT+^ + ttalłDy-O, y(l)»0,/(l)--l.

2.2.    Sprawdzić, że funkcje ^(t) = e~\ »(t) =* «* on» Ich domina kombinacja Halowa są rozwiązaniami równanie y" - 2^ - 3y = 0.

2.2. Dany jest układ fundamentalny fyi(l),»(<)) równania łmlomgojednorodnego postad JT*+9(()» -0. Dla Jakich parametrów o. 0€ R, para funkcji (ui(t)>ua(0) określonych wzorami

•i(0*iiW⁺fts(*)

jest również układem fnnHMw««iiiyin tego równania?

2.4.    Sprawdzić, że podane funkcje tworzą na zadanych przedziałach układy fundamentalne wskazanych równań

różniczkowych.    rozwiązania tych równań z zadanymi warunkami początkowymi:

•)*    »(*)-«*, (-00,00), y"-y'-2p-0, y(0)—1, y'(0)—5;

b) y,(t)_sskit,y_a(0-f, (0,e), t*(l-łn10)-*. |f'(l)=l;

«)*(*)=*. *a(0=«*. (-00,1), (ż-DjT-tf+i^O, i(0)"0, y'<0)-1.

d)    n(t)=t, yaW-t*. (O.oc). «V-2ly'+2y-0. y(l)=3, ✓(!)■!.

2.5.    Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne posud y" + jKOv' + <j(Oj/ = 0. których układy fundamentalne składają się z podanych funkcji:

») Vi (*) - sht, ys = cbt. gdzie t € R,

b)    Vx(0 - t, Vi(t) - i², gdzie ł C (O.oo);

c)    yi(0 - r^ł, »j(f) -1, gdzie I e (O, oo).

2.0. Do każdego z podanych równań różniczkowych wskazano jedno jego rocwiąsanle. Wykorzystując metodę obniżania rządu równania znaleźć rozwiązania ogólne tych równań różniczkowych:

•)y"-5lf' + «P-0, y(t)-e*; b) y" + 4y-O, *(*) =<**«;

c) tV - tyf - 3y w O, <p[t) - j; d) (1-Dy" -(l+l)y^, + 2y = O, d«) = e‘;

e)    ty" - 2y' + (2-t)y = 0. V>(t) -e‘; f) f*y" + | = O, v*0 - W.

2.7.    Wyznaczyć te wartości parametru m € ił, dla których wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nadepnie scalkować te równania:

a) *(t) - a"*'. (21 + ljy* + 2(2t - l)j/ - 8y = 0; b) v{t) - t". t²y" - 3fj/ + 4y - 0.

* 2.8. Do każdego z podanych równań wskazano jedno Jego rozwiązanie. Korzyztając ze wzoru Liouville'a wyznaczyć układy fundamentalne tych równań:

a)żV + V-V“0- Vi(t)-t;    b) ty" + 2j/ + ty ■ 0, yi(t)»^.

Lista siódma_

d)2y"-3y'4-4y-0.

2.8.    Napisać równania charakterystyczne podanych równań różniczkowych: a) y" - 2y^ + y w 0; b) y* - 3y - 0; c) 4y" + j/ ■ 0: