Matematyka 2 '9

278 IV' Równania róiniczkon? rwyx;ajne

Niżej podajemy twierdzenie o istnieniu i jednoznaczn rozwiązań równania liniowego drugiego rzędu:

TWIERDZENIE 6.1. Jeżeli p,,p_: »q w równaniu (6.1) są fu kejami ciągłymi nu przedziale (a.b), to dla dowolnej trójki lic (V Yo* yó)- gdzie x„e(u.b), istnieje dokładnie jedno rozwiązań y=y(x) równania (6.1) spełniające warunki początkowe y(x_n)=y₀, y'(x₀) = y'.

Geometrycznie teza tego twierdzenia oznacza, że przez każdy punkt obszaru

D= |(x.y) eR*: a<x<b a -cc<y<-f-x)

przechodzi dokładnie jedna krzyw a całkow a równania (6.1) o podany współczynniku kierunkowym stycznej.

RÓWNANIE LINIOWE JEDNORODNE Omówimy teraz całkowanie równania liniowego jednorodnego

(6.2)    y" + Pi (x )y' + p, (x )y = 0.

Najpierw udowodnimy

TWIERDZENIE 6.2. Jeżeli y, i y_: są rozwiązaniami szczególnymi równania (6.2) na przedziale (a.b) oraz C, i C\ są dowolnymi stałymi. to funkcja

y = C,y₁(x) + C₂y_;(x). xe(a.b),

jest rozwiązaniem równania (6.2).

Krótko: Kombinacja liniowa dowolnych dwóch rozwiązań równania liniowego jednorodnego (6.2) je*a równic* ro/wiązaniem lego równania

Dowód. Z założenia wynika, że dla każdego x 6(a.b) zachodzą równości:

yr(x)+Pi(x)yJ(x)+p₂(x)y,(x)=0.

>':(x)-r p,(x)y'_;(x) + p_:(x)y_?(x)-0.

Mnożąc pierwszą z równości przez C,. drugą przez C₂ i dodając je stronami otrzymujemy, że dla x e(a.b)

₍c,y;\x) ► C₂y>(X)K P,(X)(C,y;( x) + C_:/j(x)) + p₃(x)(C,y,(x)+C₂y₂(x)) = O czyli

(C_ly,(x)+C₂y₃(x)r + p,(xKC,y_l(x)+C_Jyj(x))’+p_:(xXC₁y_l(x)+C₂yj<x»=0 _a to oznacza, że funkcja y=C,y,(x)+C₂y₂(x) jest rozwiązaniem rówTiama (6.2).

Można sprawdzić, że y = e¹' i y = e'*. x e R. są rozwiązaniami równania y"-y^ł -2y = 0. W konsekwencji każda funkcja określona wzorem

y = C,c*‘ + C\c \

gd/ic C„C_: są dowolnymi stałymi, jest również rozwiązaniem tego równania. Powstaje pytanie: czy jest to rozwiązanie ogólne rozpatrywanego równania? W tym przykładzie rzeczywiście tak jest. W ogólności jednak, kombinacja limowu ( z dowolnymi stałymi C, i C_;) dwóch rozwiązań równania (6.2) nie musi być rozwiązaniem ogólnym tego równania

Aby wyjaśnić to zagadnienie, wprowadzimy pojęcie funkcji liniowo niezależnych

Funkcje yj(x) i y₂(x) nazywamy liniowo zależnymi na przedziale (a.b). gdy istnieją stałe C, i C_;, z których przynajmniej jedna jest różna od zera, takie, że

(6.3)    A C,y,(x)4C,yj(x)=0.

>ai»

funkcje y_t(x) i y_:(x) nazywamy liniowo niezależnymi nu przedziale (a.b). gdy me są liniowo zależne.

Oznacza to. że dla funkcji liniowo niezależnych warunek (6.3) jest spełniony jedynie wtedy, gdy C, = 0 i C, = 0.

Na przykład funkcje y,(x) = 2ć~^Ł i y₂(x) = 3e'^ł są liniowo zależne nu zbiorze R, gdyż

A —3y_l(x)+2y₃(x) = 0.

Natomiast funkcje y,(x) = e‘^ł i y,(x) = c^2x są liniowo niezależne na R, gdyż przypuszczenie, że istnieją stale C, iC\. me równe jednocześnie