Matematyka 2 "7

226 IV. Równania rużnirdcoH-ę zwyczajne

c) y' = e \ y(Q)=2,

e)y^#*^T. yU)=-i.

d) y*=^. y(-I)=2,

O y'=-T’ y(-2)=i. x

9.    Sprawdzić, że funkcja y =-r, xeR, jest rozwiązaniem równa-

l + x

ma 2y"-3(l + x²)(y')³ + 4y^ł = 0.

10.    Sprawdzić, żc funkcja y = xe“ , xeR, jest rozwiązaniem równania y" + 2xy’ + 4y = 0.

11 Rozwiązać równanie y^M = 2 i naszkicować dwie dowolnie wybrane krzywe całkowe tego równania.

12.    Rozwiązać równanie y" = sinx przy warunkach początkowych y(0) = 2. y*(0) = -1 oraz naszkicować odpowiednią krzywą całkową.

13.    Znaleźć rozwiązanie równania y^,, + 4_r = 0 spełniające warunki

x

brzegowe y(l) = 2. y(e) = 3, a następnie naszkicować odpowiednią krzywą całkową.

14.    Znaleźć wszystkie rozwiązania danego równania spełniające warunek y(x„)=y₀:

a) y"=sinx, y(0)=0,    b) y” = |, y(-l)=l.

15.    Znaleźć wszystkie funkcje y = y( x), x e R., dła których

a) y” = 2, y(l)=I,    b)y"=4. y(l) = 0.

X

Nasz.kicować wykresy trzech spośród tych funkcji.

16.    Rozwiązać równanie, a następnie znaleźć rozwiązanie szczególne spełniające podane warunki początkowe:

a)    y" = 3cosx, y(0) = -3, y'(0) = l,

b)    xV-2x²+4 = 0, y(l) = -I. y'(l) = 4.

c)    y'" = 6+e ", y(0) = 0, y'(0)=l. y"(0) = -l.

17 Rozwiązać równanie, a następnie znaleźć lo rozwiązanie, klóre spełnia podane warunki brzegowe:

a) y"=2-sinx, y(0) = 0, y(n) = it,

b)    x²y*'-2x² + 4 = 0, y(-l) = l-c, y(-e) = 4.

c) y* = 4-. y(-D = 0, y(-2) = -1/2. y< —4) =—3/4_

Odpowiedzi. Występujące w odpowiedziach C, C|,C_JtCj oznaczają dowolne stale.

-I. Wsk. Zastosować Iw 1.2 Cauchy“cgo o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania y* = f(x,y).

7 uly=x^:-x+C. b)y=x³+C,    c)y-e'+C. d) y = sm2x+C.

c) v-ln|x • ł;+C. f) y=—-C. g'J y- —.-iC, h) y=Vx+C, x>0 *    2x

Sporządzenie odpowiednich rysunków pozostawiamy Czytelnikowi

8.    x)y~x**x-2_t b) y-x*-l. c) y = -e"' *3. d) y = lnl-xl+2.

c) v =    + 2. x> 0,    0 y = -V +7. x < 0. Sprawdzenie wykresów pozostaww-

x    X¹'    ⁴

my Czytelnikowi

M. u) Rozwiązanie ogólne; y-C_; • C,x-sinx Uwzględniając warunek y(O)=r0 otrzymujemy C₂ =0. Podany warunek spełnia więc nieskończenie wiele rozwiązań danego równania i są one określone wzorem y = C,x - sin x, C, e R . b) y= xln<—x)— x » Cx*C .

15 a| y = x^:-Cx-C x>0 h) y=^-+Cx-C- I. x>0 Sprządzeme wykresów pozostawiamy Czytelnikowi

16 a) y = -3cosx *C,x+C₂; y-x 3cosx.

h) y = x^J +4ln|xJ+C,x+Cj; y = x^?-2x + 4lnx . c) y=x^ł e-^4⁰'*² * ^ci^{x + c}ji y=x'-c"’ ♦!.

17. a) y = x^;-i-sinx -ł C*,x tC_:; y - x* +(l-    » sinx.

b) y = x³ +4ln|x|*C,x+Cj, y = x³-*-4ln(-x) *ex .

cl y = —- + -r-C|X* +C_;x + C₃; y- “—l. x<0.

X i