Skrypt!

III.Granica i ciągłość funkcji

Przedział (to—r, ®o+^r) nazywamy otoczeniem punktu x* o promieniu r. Zakładamy, że funkcja / jest. określona w pewnym sąsiedztwie punktu xo czyli w zbiorze S[xq. r) = U; - r. ,t₀ - r) ~ {.T_C}.

Def. Heinego. Liczbę g G R U {—co, —cc} nazywamy granica funkcji f w punkcie z₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x-_n) o wyrazach 6 Sizo, r). zbieżnego do .ly. ciąg (/(t*)1 jest zbieżny do g

<& y^„\_C5{_S0z-n = To => Jim /(ar*) = g).

Piszemy lim*_»_} f(z) — g. W przypadku <? — cc mówimy o granicy niewłaściwej.

Def. Cauchy^!ego (,g € R).

im f[x) = g <=> V_s>c3e>oVj;(0 < t — ar₀ |< ó = lim /(x) = —cc <=> V_f>on5>oVj;(0 <j ar — To \< £ => /(ar)

■ i x : — <?

; > 5.;

_im /urj = —cc <=> v,,<oc.5>o v..f 0 <! x — zo < ć => j[x) < ??!

Zauważmy, że granica funkcji w punkcie .To nie zależy od wartości funkcji w tym punkcie. Definicje Heinego i Caucky^;ego są równoważne. Dla przypadku ,r.o = —co lub *0 = —co, zamiast sąsiedztwa 5(xc,⁷’). bierzemy odpowiednio: [r. —cc) lub : — oc. ?•).

Twierdzenie 2. 7 (o działaniach arytmetycznych, na granicachj

J£££ 11

lim f\{z) — gi 1 lim /kar) = 92: to

lim {fi{x)-rf2\X)} = 9i~92- Jim 1/l(t)—f₂{z)) = g-.—gi. lim t/i(ar)-/*2(a?)) = ora: przy dodatkowym założeniu, fj(ar) y 0 w pewnym sąsiedztwie Xr. oraz g2 # 0

nr

p₂

Jeżeli w definicji granicy funkcji / w punkcie xq zastąpimy sąsiedztwo S{xo,r) tego punktu przez sąsiedztwo prawostronne ta + r; albo lewostronne (.ro — y x₀). to otrzymamy definicję granicy jednostronnej, odpowiednio: prawostronnej lim_;e_„_r /(ar), albo lewostronnej iim___sr /(ar).

Twierdzenie 2. 8

lim /(ar)

:m /pi —

fi ;

0