Skrypt

2. Ciągi liczbowe, granica i ciągłość funkcji.

I. Ciągi liczbowe - podstawowe definicje i własności.

Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy funkcje / określoną na zbiorze liczb naturalnych Ts, czyli / :Nh R. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f(n) = a_n dla n € N, zaś sam ciąg oznaczamy (ai.a?. a_:i....) lub krótko (a_n)'.

Ciąg (c_;;) jest:

rosnący    V_n£n a_n+i — a_r, > 0,

malejący -i=> a_n_i — a_n < 0, memahjący <=> V_ngx — a„ > 0, ni ero snący 4=? ¥.~_ex    — a_n < 0.

Ciągi rosnące, malejące, niemałejące. nierosnące nazywam}' ciągami monotonicz-nymi.

Ciąg (a>j) jest:

ograniczony z góry <=^    ^an < M,

ograniczony z dołu ś=>    > m,

ograniczony <=> 3.r/>o“jieN | a„ |< M.

Ciąg (e_n) jest arytmetyczny <=> 3,.V_r.6N c_n+: — c_n — r.    .

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Twierdzenie 2. 1 (Własności ciągu arytmetycznego)

) jest N a_n

N S_r.

Jeżeli la

ciągiem arytmetycznym, io = a i -fi (n — 1)?’.

:= ci — aj — ... + a„ =

Ciąg (a_n) jest geometryczny 3_ę#0V,,_sN ^ = q. Liczbą q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Twierdzenie 2. 2 {Własności ciągu geometrycznego} Jeżeli (,a_n) je-si ciągiem geometrycznym, io

i-i

Cię

1° V„_€n a*

90 V

msN

CUC Jr 1 = 1

3° i a |< 1 =ś- 5

Ci

O.i 7

13