490575241

3

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY

Dla każdych trzech podzbiorów A, B,C grupy G mamy (A • B) ■ C = A ■ (B ■ C).

Jeśli A i B są podgrupami grupy G, to iloczyn AB jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy gdy AB = BA.

Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez element a € G nazywamy zbiór

aH:={a}-H = {aheG:he H}.

Podobnie definiuje się warstwę prawostronną Ha := {ha G G : h € H}.

Każda warstwa grupy G względem podgrupy H jest równoliczna z podgrupą H. Mianowicie odwzorowania H —* aH, h i—► ah oraz H —> Ha, hi—* ha są bijekcjami. Jeśli dwie warstwy lewostronne aH i bH mają choć jeden element wspólny, to są identyczne: aH = bH. Podobnie dla warstw prawostronnych.

Ponieważ każdy element a € G należy do dokładnie jednej warstwy aH grupy G względem podgrupy H i różne warstwy są rozłączne, grupę G można przedstawić jako sumę mnogościową parami rozłącznych warstw

G = U o,H.

i£l

Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie aH ► Ha~^l jest bijekcją pomiędzy zbiorem warstw lewostronnych i zbiorem warstw prawostronnych grupy G względem podgrupy H. Zatem zbiory te są równoliczne a ich wspólną moc nazywa się indeksem podgrupy H w grupie G. Zbiór parami rozłącznych warstw lewostronnych a^H oznacza się G : H. Moc |G : H\ zbioru warstw G : H, czyli moc zbioru I, jest więc indeksem podgrupy H w grupie G.

Rozkład grupy G na sumę mnogościową parami rozłącznych warstw wraz z faktem, że każde dwie warstwy grupy względem tej samej podgrupy są równoliczne, prowadzi natychmiast do twierdzenia Lagrange’a mówiącego, że dla grupy skończonej G i jej dowolnej podgrupy H mamy

\G : H\ ■ \H\ = \G\.

Łatwo też zauważyć uogólnienie: dla grupy skończonej G, jeśli K < H < G, to \G:H\-\H :K\ = \G:K\.

1.1.3 Podgrupy normalne

Podgrupa H grupy G nazywa się podgrupą normalną, jeśli aH = Ha Va € G.

Piszemy wtedy H <]G. Zob. [S], zad. 213, gdzie podanych jest 10 innych warunków definiujących podgrupę normalną.

Dwie podstawowe obserwacje: