357502979

14

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

Jeśli G jest iloczynem ogólnym podgrup H i K, to można tylko powiedzieć, że dla każdych h G H i k 6 K istnieją h\, /12 € H i fci, € K takie, że

hk = k\h\ oraz kh = /i2&2-

Jeśli G jest iloczynem półprostym podgrup H i K oraz H < G, to dla każdych h E H i k € K mamy

hk = k ■ k~^xhk oraz kh = khk^-1 • k, gdzie k^_1hk, khk~^l € H, gdyż H <G.

Wreszcie gdy G jest iloczynem prostym podgrup H i K, to dla każdych h G H i k 6 K mamy hk = kh.

Rzeczywiście,

hkh 'k ¹ = h-kh ^lk ¹ e// = hkh^-1 • k~^l G K.

A więc komutator hkh ^lk ¹ € H C\K = \, skąd wynika, że hk — kh, dla każdych /i € H, k € K.

1.3.2 Iloczyny zewnętrzne

Istnieją także konstrukcje grup, które pozwalają zbudować nową grupę G z dwóch danych gnip H i K nie będących podgrupami jakiejś jednej grupy. Najprostszą z tych konstrukcji jest iloczyn kartezjański grup.

Iloczyn prosty

Niech H i K będą dowolnymi grupami. W iloczynie kartezjańskim H xK zbiorów H i K określamy działanie następująco:

(hiM)'{hi, ki) := (hiha.ferfca).

Tutaj h\h2 i k\k2 są iloczynami elementów w grupach H i K, odpowiednio. Z łatwością pokazuje się, że zbiór H x K z tak określonym działaniem jest grupą z jedynką (1//, 1/c). Reguła konstrukcji elementu odwrotnego do (h,k) € H x K jest bardzo prosta:

{h,k)~^l = (h~ ¹,k~¹).

Tę grupę nazywamy iloczynem kartezjańskim grup H i K.

Rozpatrzymy związek pomiędzy iloczynem kartezjańskim grup i iloczynem prostym podgrup grupy. Niech H i K będą podgrupami grupy G i załóżmy, że G jest iloczynem ogólnym podgrup H i K. Zatem G = HK oraz H fi K = 1. Wtedy można też oczywiście rozpatrywać iloczyn kartezjański H xK grup H i K. Porównanie grup G = HK i HxK zawiera się w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 1.3.3. Niech H i K będą podgrupami grupy G. Następujące warunki są równoważne.

(a)    Odwzorowanie : H x K —> G, (h, k) 1—> hk jest izomorfizmem grup.

(b)    G — HK, H fi K = 1 oraz hk — kh dla wszystkich h G H,k € K.

(c)    G jest iloczynem prostym podgrup H i K.

Dowód, (a) => (b) Surjektywność odwzorowania ip oznacza, że G = HK. Ponadto, dla h € H,k € K mamy

kh = (ń^-1fc^-1)^-1 = ip{h~^l ,k^-i)~^l = <p(h,k) = hk.

Wreszcie, jeśli 1 5^ g € H fi K, to <p(l,g) = g = <p(g, 1), wbrew różnowartościowości <p. Zatem HDK = 1.

(b) => (c) Należy dowieść, że H < G i K < G. Dla g = hk mamy

gHg~¹ = hkHk~¹h~¹ = hHkk^_1h~^l = hHh^-1 = H.

A więc H <G. Podobnie

gKg-¹ = hkKk~^lh~^l = hKh~^l = Khh-¹ = K,