357502991

7

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY

Zatem a ■ fi^_1(L) ■ a^-1 C h^_1(L). Stąd wynika już, że fi^_1(L) < G i wobec /i(fi^_1(L)) = L odwzorowanie h* jest surjekcją.

Dla dowodu ostatniej części twierdzenia określamy odwzorowanie h! : G —> G'/h(H),    h'(a) — h(a)h(H).

Z łatwością stwierdzamy, że h¹ jest epimorfizmem grup. Ponadto, ponieważ ker h < H, na podstawie (1.3) mamy

ker ti = {a G G : h{a) G h(H)} = h-\h(H)) = H.

Zatem istnienie izomorfizmu G/H = G'/h(H) wynika z wniosku 1.1.5.    □

Wniosek 1.1.7. Jeśli H < G, to homomorfizm kanoniczny k : G —* G/H indukuje bijekcję k* : Sub//G —> SubG/H taką, że /c*(NSub_HG) = NSubG/H.

Wniosek 1.1.8. Jeśli K <G, H<G i K<H, to K<H oraz

(a)    H/K < G/K,

(b)    (G/K)/(H/K) = G/H.

Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm kanoniczny k \ G —> G/K =: G'. Wtedy na podstawie wniosku 1.1.7 mamy k(H) = H/K <3 G/K, oraz na podstawie twierdzenia 1.1.6 otrzymujemy G/H = G'/k(H) = (G/K)/(H/K).

Bardziej bezpośredni dowód otrzymamy rozpatrując odwzorowanie G/K —* G/H, gK i-» gH.

Jest to epimorfizm z jądrem H/K. Izomorfizm w części (b) wniosku otrzymujemy przez zastosowanie wniosku 1.1.5.    □

Twierdzenie 1.1.9. (Twierdzenie o izomorfizmie.)

Jeśli H<G, K<G, to

(a)    H C\K <K,

(b)    HK/H = K/H n K.

Dowód. Przede wszystkim HK < G, gdyż z założeń wynika, że HK = KH, a to wystarcza by iloczyn dwóch podgrup grupy G byl jej podgrupą. H jest podgrupą normalną w G, zatem jest także podgrupą normalną w HK. Dla dowodu twierdzenia rozważamy homomorfizm

K -► HK/H, k ~ kH.

Jest to epimorfizm i ma jądro K (~\H skąd wobec wniosku 1.1.5 otrzymujemy (b).    □

1.1.5 Automorfizmy wewnętrzne

Automorfizmem grupy G nazywamy każdy izomorfizm a : G —> G. Zbiór Aut G wszystkich au-tomorfizmów grupy G jest podgrupą grupy symetrycznej S(G) zbioru G. Dla każdego elementu a € G definiujemy odwzorowanie

i_a.G^G, i_a(x) = axa~^l.

Łatwo sprawdza się, że i_a G Aut G. Automorfizm i_a nazywa się automorfizmem wewnętrznym grupy G. Dla a, b G G mamy i_a o i_h — i_ab oraz i~^x — i_a-i. Stąd wynika, że automorfizmy wewnętrzne tworzą podgrupę w grupie automorfizmów grupy G. Nazywamy ją grupą automorfizmów wewnętrznych grupy G i oznaczamy Inn G.

Odwzorowanie G —* InnG, a *-* i_a jest epimorfizmem grup. Jądrem tego epimorfizmu jest podgrupa normalna

{a G G : i_a = idc} = {a € G : ax = xa Vx G G} = Z(G).

Na podstawie wniosku 1.1.5 mamy zatem izomorfizm

InnG = G/Z(G),

gdzie Z(G) jest centrum grupy G.