490575231

12

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

Odwzorowanie to jest bijekcją. Injektywność g' wynika stąd, że

gx = gy =>■ g^(gx) = g^(gy) => (g^g)x = (g~'g)y    => x = y.

Natomiast surjektywność g' wynika z faktu, że x = g(g~¹x) dla każdego x E X. Krótko mówiąc, (g^-1)^/ jest odwzorowaniem odwrotnym do g'.

Uwaga 1.2.2. Odwzorowanie G —> S(X), g i—> g' jest homomorfizmem grup. Mamy mianowicie

(fg)'(x) = (fg)x = f(gx) = f{g^l(x)) = (f °g')(x) dla każdych x E X, f,g E G. Zatem (fg)' = f o g'.

Na odwrót, każdy homomorfizm G —> S(X), g g¹ wyznacza działanie grupy G na zbiorze X poprzez odwzorowanie

G x X -> X, (g, x) ^ gx = g'(x).

Rzeczywiście, dla f,g E G mamy /' o g' = (fg)' zatem dla dowolnego x E X otrzymujemy

f(gx) = /(s'M) =    = (/' o g'){x) = (fg)'(*) = {fg)x,

\x = l'(x) = X, gdzie 1' jest jedynką grupy S(X).

Przyporządkowanie każdemu homomorfizmowi grupy G w grupę symetryczną S(X) zbioru X odpowiadającego mu w ten sposób działania grupy G na zbiorze X ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między homomorfizmami grupy G w grupę S(X) i działaniami grupy G na zbiorze X. W związku z tym działaniem grupy G na zbiorze X można nazwać dowolny homomorfizm G —> S(X).

Przykład 1.2.1. Najbardziej naturalnym przykładem działania grupy na zbiorze jest działanie grupy symetrycznej G = S(X) zbioru X na zbiorze X:

S(X) x X X, (a, x) <j(x).

Odpowiadający temu działaniu homomorfizm G —> S(X) jest homomorfizmem iden-ty cznościowy m.

Definicja 1.2.3. Niech grupa G działa na zbiorze X. Elementy x,y E X nazywają się sprzężone, jeśli istnieje g E G taki, że y = gx. Piszemy wtedy x ~ y. O elemencie g takim, że y = gx mówimy, że transformuje x na y.

Relacja sprzężenia ~ jest relacją równoważnościową w zbiorze X.

Definicja 1.2.4. Klasę abstrakcji relacji sprzężenia ~ nazywa się orbitą zbioru X, lub G-orbitą zbioru X.