490575224

5

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY

1.1.4 Homomorfizmy

Homomorfizmem grupy G w grupę G' nazywamy każde odwzorowanie h : G —> G' takie, że

h(ab) = h(a)h(b) dla każdych a,b G G.

Jeśli / : G' —» G" jest także homomorfizmem grup, to złożenie / o h : G —* G" jest także homomorfizmem grup. Często zamiast /oh będziemy w takiej sytuacji pisać po prostu fh.

Obrazem im h homomorfizmu h : G —* G¹ nazywamy obraz h(G) grupy G w grupie G'. Jest to podgrupa grupy G'. Jądrem ker h homomorfizmu h nazywamy zbiór h^_1(l'), czyli zbiór tych elementów grupy G, których obrazem poprzez h jest jedynka 1' G G' grupy G'. Łatwo sprawdza się, że ker h jest podgrupą grupy G. Jeśli h : G —* G' jest homomorfizmem, to dla każdego a G G

ker h • a = h~¹(h(a)) = a • kerh.    (1.1)

Zatem ker h jest podgrupą normalną grupy G.

Dla dowodu (1.1) zauważmy, że

h^_1(h(a)) = {b G G : h(b) = h(a)} = {b G G : a~^lb G kerh}

= {b G G : b G a • ker h} = a ■ ker h.

Ponieważ h(a) = h(b) pociąga również óa^_1 G ker h, czyli b G ker h ■ a, więc także ker h • a = h~¹(h(a)).

Formułę (1.1) łatwo uogólnimy w następujący sposób: dla dowolnego niepustego podzbioru A grupy G

(1.2)

kerh-A = h ¹(h(A)) = A ■ kerh.

Rzeczywiście,

h ¹(h(A)) = [J h ¹(h(a)) = (J a ■ ker h = A ■ ker h

a£A    a£A

i podobnie otrzymamy drugą część równości (1.2). Z równości (1.2) otrzymujemy teraz

ker h < H < G =>    h~¹{h(H)) = H    (1.3)

dla dowolnego homomorfizmu h : G —* G'.

Jeśli homomorfizm h jest odwzorowaniem różnowartościowym (injektywnym), to dla każdego a G G zbiór h~¹(h(a)) jest jednoelementowy. A więc na podstawie (1.1) homomorfizm h jest injektywny wtedy i tylko wtedy gdy kerh = {1}.

Definicja 1.1.1. Homomorfizm grup h : G —> G' nazywa się monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G' jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów /ii /2 ^: K G mamy następującą implikację:

hfi = hf₂ => fi = fi