357502985

2

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

tworzy grupę. Nazywamy ją grupą kwatemionów i oznaczamy Quat lub Q.

(e) Grupa diedralna D(n). W grupie permutacji 5„ weźmy permutacje

z = (12...n), y = ( * _n²_₁

Sprawdzamy, że xⁿ = y² = 1, yxy~^l = x~^l. Równości te pozwalają stwierdzić, że 2n permutacji 1, x,..., x^n_1, y, xy,..., x^n-1y

tworzy grupę. Nazywamy ją grupą diedralną i oznaczamy D(n). Grupę tę nazywa się także grupą izometrii n—kąta foremnego, gdyż numerując wierzchołki n—kąta foremnego liczbami 1,2, ...,n stwierdzamy, że x i y, a także każdy element grupy D(n), można zinterpretować jako izometrię tego n—kąta. Faktycznie są to wszystkie izometrie n—kąta foremnego.

Obszerną listę przykładów można znaleźć w [S], zad. 001-020.

1.1.2 Podgrupy i warstwy

Podgrupą H grupy G nazywamy podzbiór grupy G zamknięty ze względu na działanie grupowe (jeśli a,b € H, to także ab G H), który sam jest grupą ze względu na działanie będące zacieśnieniem działania na G do H. Piszemy wtedy H < G.

H < G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

x,y G H =» xy~^l G H.

Łatwo stwierdzić, że część wspólna dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgrupą grupy G. W szczególności, jeśli A jest podzbiorem grupy G, to część wspólna wszystkich podgrup grupy G zawierających zbiór A jest podgrupą grupy G. Nazywamy ją podgrupą generowaną przez zbiór A i oznaczamy (A). Na przykład, grupa kwaternionów Quat jest podgrupą grupy SL(2,C) generowaną przez macierze A, B z przykładu 1.1.l(d). Podobnie, grupa diedralna D(n) jest podgrupą S_n generowaną przez permutacje x,y z przykładu l.l.l(e), zatem w grupie S_n mamy (x,y) = D(n). Dla podzbiorów A i B grupy G określamy ich iloczyn kompleksowy

A ■ B := {a • b G G : a G A,b € B}.

Dla każdych trzech podzbiorów A, B,C grupy G mamy

(A ■ B) ■ C = A • (B ■ C).

Jeśli A i B są podgrupami grupy G, to iloczyn AB jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy gdy AB = BA.

Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez element a G G nazywamy zbiór

aH :={a}H = {aheG:he H}.

Podobnie definiuje się warstwę prawostronną Ha := {ha G G : h G H}.

Każda warstwa grupy G względem podgrupy H jest równoliczna z podgrupą H. Mianowicie odwzorowania H —► aH, h *—* ah oraz H —> Ha, h i—> ha są bijekcjami.

Jeśli dwie warstwy lewostronne aH i bH mają choć jeden element wspólny, to są identyczne: aH = bH. Podobnie dla warstw prawostronnych.

Ponieważ każdy element a G G należy do dokładnie jednej warstwy aH grupy G względem podgrupy H i różne warstwy są rozłączne, grupę G można przedstawić jako sumę mnogościową parami rozłącznych warstw

G = (J a,H.

i€l

Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie aH Ha~^x jest bijekcją pomiędzy zbiorem warstw lewostronnych i zbiorem warstw prawostronnych grupy G względem podgrupy H. Zatem zbiory te są