2
ROZDZIAŁ 1. GRUPY
kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F. Specjalna grupa liniowa SL(n, F) składa się z wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F, których wyznacznik jest równy 1.
(d) Grupa kwatemionów Quat. W grupie SL(2, C) weźmy macierze
Wtedy A4 = B4 = I, A2 = B2, BAB 1 = A 1 i równości te pozwalają stwierdzić, że następujących 8 macierzy
/, A, A2, A3, B, AB, A2B, A3B
tworzy grupę. Nazywamy ją grupą kwatemionów i oznaczamy Quat lub Q.
(e) Grupa diedralna D(n). W grupie permutacji S(n) weźmy permutacje
*=(i2-'-n)’ »=(« Ti—i::: ")•
Sprawdzamy, że xn = y2 = 1, yxy~1 = x~l. Równości te pozwalają stwierdzić, że 2n permutacji
l,x,... ,xn~1,y, xy,... ,x1l~1y
tworzy grupę. Nazywamy ją grupą diedralną i oznaczamy D(n) (lub Dn). Grupę tę nazywa się także grupą izometrii n—kąta foremnego, gdyż numerując wierzchołki n—kąta foremnego liczbami 1,2,... ,n stwierdzamy, że x i y, a także każdy element grupy D(n), można zinterpretować jako izometrię tego n—kąta. Faktycznie są to wszystkie izometrie n—kąta foremnego.
Obszerną listę przykładów można znaleźć w [S], zad. 001 020.
Podgrupą H grupy G nazywamy podzbiór grupy G zamknięty ze względu na działanie grupowe (jeśli a,b € H, to także ab € H), który sam jest grupą ze względu na działanie będące zacieśnieniem działania na G do H. Piszemy wtedy H < G.
H < G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
x,y € H => xy~x € H.
Łatwo stwierdzić, że część wspólna dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgrupą grupy G. W szczególności, jeśli A jest podzbiorem grupy G, to część wspólna wszystkich podgrup grupy G zawierających zbiór A jest podgrupą grupy G. Nazywamy ją podgrupą generowaną przez zbiór A i oznaczamy (A). Na przykład, grupa kwatemionów Quat jest podgrupą grupy SL(2, C) generowaną przez macierze A, B z przykładu l.l.l(d). Podobnie, grupa diedralna D(n) jest podgrupą S(n) generowaną przez permutacje x, y z przykładu l.l.l(e), zatem w grupie S(n) mamy (x,y) = D(n).
Dla podzbiorów A i B grupy G określamy ich iloczyn kompleksowy A ■ B := {a ■ b e G : a € A,b e B}.