357502983

18

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

gdzie Af(l, Z_n) jest grupą afiniczną stopnia n nad pierścieniem Z_n reszt modulo n. Ponieważ Aut D_n = Af(l,Z_n) (zob. [S], zad. 331), więc mamy także

AutD_n = Hol(Z„).

Można także udowodnić, że dla iloczynu półprostego G = Z_n xi Z_m dwóch grup cyklicznych, jeśli Z(G) = 1, to AutG = Hol(Z_n) (zob. G. L. Walls, Automorphism groups, Amer. Math. Monthly 93(1986), 459-462).

1.4 Grupy wolne i kody genetyczne grup

Jedną z metod prezentacji grup jest zadanie grupy za pomocą generatorów i relacji lub inaczej mówiąc, podanie kodu genetycznego grupy. Precyzyjne objaśnienie tej metody wymaga wprowadzenia pojęcia grupy wolnej z wolnym zbiorem generatorów. Rozpoczniemy od prostszej konstrukcji monoidu wolnego.

1.4.1 Monoidy wolne

Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. A więc, na przykład, jeśli x,y € X to x,yy,xy,xxxyyxy są słowami o długościach 1,2,2,7. Pusty ciąg jest także dopuszczalny i będziemy go oznaczać symbolem 1. Na zbiorze wszystkich słów w alfabecie X definiujemy operację mnożenia słów, która polega na dopisywaniu do pierwszego słowa drugiego słowa. Niech * będzie znakiem tej operacji binarnej. Wtedy mamy, na przykład,

x*yy = xyy, xy * xxxyyxy = xyxxxyyxy.

Jest rzeczą oczywistą, że operacja * w zbiorze słów jest łączna oraz dla każdego słowa w w alfabecie X mamy l*u; = w = w* 1. A więc zbiór wszystkich słów w alfabecie X z operacją * jest monoidem. Monoid ten oznaczamy symbolem M(X) i nazywamy monoidem wolnym z alfabetem X. Zauważmy, że formalnie rzecz biorąc zbiór X nie jest podzbiorem M(X). W dalszym ciągu dla każdego x G X będziemy utożsamiać słowo jednoelementowe x (czyli ciąg jednoelementowy) z elementem x, i wobec tego będziemy mogli uważać, że X C M(X). Włożenie p : X M(X) ma następującą własność uniwersalną.

Twierdzenie 1.4.1. Niech X będzie zbiorem niepustym. Dla dowolnego monoidu M i dowolnego odwzorowania f : X —* M istnieje dokładnie jeden homomorfizm monoidów h : M(X) —* M taki, że ho p = f a więc taki, że następujący diagram jest przemienny:

A

X -► M(X)

M

Dowód. Definiujemy h : M(X) —* M kładąc h(l) = 1 m, gdzie 1 m jest jedynką monoidu M, oraz h(xiX2-..x_n) = f(xi) • f{x2) ■ ■ • f(x_n) dla dowolnego niepustego słowa xiX2-..x_n w alfabecie X. Tutaj, po prawej stronie równości definiującej odwzorowanie h, kropki oznaczają działanie w monoidzie M. Jest rzeczą oczywistą, że wtedy h{w\ * W2) = h(w\) • h(w2) dla dowolnych słów W\,W2 € M(X). A więc h jest homomorfizmem monoidów i ponadto, wobec utożsamienia x € X ze słowem jednoelementowym x € M(X) mamy p(x) = x, czyli hop(x) = h(x) = f(x) dla każdego x € X. Dowiedliśmy więc istnienia homomorfizmu h.