357502992

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

1.1.6 Twierdzenie Jordana-Hóldera

Jeśli H < G i grupa G/H nie jest prosta, to na podstawie wniosku 1.1.7 istnieje podgrupa K grupy G różna od H i G taka, że

H < K < G.

Podobnie, jeśli grupa K/H nie jest prosta (lub gdy G/K nie jest prosta), to istnieje podgrupa Ki grupy K różna od H i K taka, że H < K\ < K (istnieje podgrupa grupy G różna od K i G taka, że K < K-z < G). Kontynuując to postępowanie dla grupy skończonej G skonstruujemy ciąg podnormalny

Ho = E < Hi < • ■ • < H_k-1 < G = H_k    (1.4)

którego faktory Hi+i/Hi są grupami prostymi dla i = 0, l,...,/c — 1. Taki ciąg podnormalny grupy G nazywa się ciągiem kompozycyjnym grupy G a liczba k nazywa się długością ciągu kompozycyjnego (1.4).

Każda grupa skończona posiada więc przynajmniej jeden ciąg kompozycyjny, ale jak sugeruje konstrukcja przedstawiona powyżej, grupa mająca wiele podgrup normalnych będzie na ogól miała wiele ciągów kompozycyjnych. Podstawowe pytania jakie się nasuwają są następujące:

(a)    Czy grupa skończona może mieć ciągi kompozycyjne o różnych długościach?

(b)    Czy faktory proste ciągu kompozycyjnego są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) przez grupę G, czy też zależą od ciągu kompozycyjnego?

Na obydwa te pytania istnieje bardzo satysfakcjonująca odpowiedź znana jako twierdzenie Jordana-Hóldera (zob. [L], str.123):

Długości wszystkich ciągów kompozycyjnych grupy skończonej są równe.

Zbiory faktorów prostych F\,...,Fk oraz G\,...,Gk dowolnych dwóch ciągów kompozycyjnych grupy skończonej G różnią się (z dokładnością do izomorfizmu) co najwyżej porządkiem. Oznacza to, że istnieje permutacja 7r 6 S(k) taka, że grupy Fj oraz G„(i) są izomorficzne dla i = 1,..., k.

Z twierdzenia Jordana-Hóldera wynika, że jeśli dwie grupy skończone mają różne długości ciągów kompozycyjnych lub jeśli ich ciągi kompozycyjne mają różne zbiory faktorów prostych, to grupy te nie mogą być izomorficzne. Jest to jeden z motywów zainteresowania problemem klasyfikacji skończonych grup prostych. Problem ten polega na charakteryzacji z dokładnością do izomorfizmu wszystkich skończonych grup prostych. Praca nad klasyfikacją skończonych grup prostych trwa już ponad 110 lat (od 1892 roku). Okres największej koncentracji pracy przypadł na lata 1960-1980. Wreszcie w roku 1981 ogłoszono że problem został kompletnie rozwiązany. Oceniano, że kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego tworzy zestaw co najmniej 300 prac zajmujących co najmniej 5000 stronic w profesjonalnych czasopismach matematycznych. Pierwszą próbą objaśnienia twierdzenia klasyfikacyjnego była monografia Daniela Gorensteina Finite simple groups. An introduction to their classińcation. Plenum Press 1982. Pod koniec lat 90-tych znaleziono jednak pewne luki w argumentacji (w 800-stronicowej pracy Masona) i podjęto próbę uratowania twierdzenia klasyfikacyjnego. W 2004 roku ukazały się dwie książki Aschbachera i Smitha pod wspólnym tytułem The classification of ąuasithin groups (razem ponad 1200 stronic), które według przekonania autorów definitywnie usuwają znalezione luki i w ten sposób stanowią ostatnie ogniwo w klasyfikacji skończonych grup prostych (zob. informację bibliograficzną w Notices of the AMS Vol. 51 No. 8 (2004), p. 977). Jednakże kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego nie jest jeszcze napisany i ciągle istnieją wątpliwości, czy nie pojawią się luki trudne do uzupełnienia. Trwa realizacja programu Gorensteina, Lyonsa i Solomona przedstawienia głównych części dowodu twierdzenia klasyfikacyjnego. W latach 1995-2004 opublikowano 6 monografii w wydawnictwie American Mathematical Society, ale program ten jest jeszcze daleki od finalizacji.

Historię całego przedsięwzięcia przedstawia interesująco praca Ronalda Solomona A brief histo-ry of the classification of the finite simple groups, Bulletin of the Amer. Math. Soc. Vol. 38 (2001), pp. 315-352. Sytuację po ukazaniu się książek Aschbachera i Smitha opisuje Micheal Aschbacher w artykule The status of the classification of finite simple groups, Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 51, No. 7 (2004), pp. 736-740.

Powracając do ciągu kompozycyjnego (1.4), jeśli faktory tego ciągu są abelowe (a więc izomorficzne z grupami Z_p dla liczb pierwszych p), to grupa G nazywa się grupą rozwiązalną. Wszystkie grupy małych rzędów są rozwiązalne. Najmniejszą grupą skończoną, która nie jest rozwiązalna jest grupa alternująca A$ rzędu 60. Jest to mianowicie najmniejsza nieabelowa grupa prosta. Żadna