490575229

10

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

1.1.6 Twierdzenie Jordana-Hóldera

Jeśli H < G i grupa G/H nie jest prosta, to na podstawie wniosku 1.1.8 istnieje podgrupa K grupy G różna od H i G taka, że

H < K < G.

Podobnie, jeśli grupa K/H nie jest prosta (lub gdy G/K nie jest prosta), to istnieje podgrupa K\ grupy K różna od H i K taka, że H <3 Ki < K (istnieje podgrupa K₂ grupy G różna od K i G taka, że K <3 K₂ <3 G). Kontynuując to postępowanie dla grupy skończonej G skonstruujemy ciąg podnormalny

H₀ = E < H_x < • • • < H_k_! < G = H_k    (1.4)

którego faktory Hi₊\/Hi są grupami prostymi dla i = 0,1,..., k — 1. Taki ciąg podnormalny grupy G nazywa się ciągiem kompozycyjnym grupy G a liczba k nazywa się długością ciągu kompozycyjnego (1.4).

Każda grupa skończona posiada więc przynajmniej jeden ciąg kompozycyjny, ale jak sugeruje konstrukcja przedstawiona powyżej, grupa mająca wiele podgrup normalnych będzie na ogół miała wiele ciągów kompozycyjnych. Podstawowe pytania jakie się nasuwają są następujące:

(a)    Czy grupa skończona może mieć ciągi kompozycyjne o różnych długościach?

(b)    Czy faktory proste ciągu kompozycyjnego są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) przez grupę G, czy też zależą od ciągu kompozycyjnego? Na obydwa te pytania istnieje bardzo satysfakcjonująca odpowiedź znana jako twierdzenie Jordana-Hóldera (zob. [L], str.123):

Długości wszystkich ciągów kompozycyjnych grupy skończonej są równe.

Zbiory faktorów prostych F\,..., F_k oraz Gi,..., G_k dowolnych dwóch ciągów kompozycyjnych grupy skończonej G różnią się (z dokładnością do izomorfizmu) co najwyżej porządkiem. Oznacza to, że istnieje permutacja n 6 S(k) taka, że grupy Fi oraz Gn(i) są izomorficzne dla i = 1,... ,k.

Z twierdzenia Jordana-Hóldera wynika, że jeśli dwie grupy skończone mają różne długości ciągów kompozycyjnych lub jeśli ich ciągi kompozycyjne mają różne zbiory faktorów prostych, to grupy te nie mogą być izomorficzne. Jest to jeden z motywów zainteresowania problemem klasyfikacji skończonych grup prostych. Problem ten polega na charakteryzacji z dokładnością do izomorfizmu wszystkich skończonych grup prostych. Praca nad klasyfikacją skończonych grup prostych trwa już ponad 110 lat (od 1892 roku). Okres największej koncentracji pracy przypadł na lata 1960-1980. Wreszcie w roku 1981 ogłoszono że problem został kompletnie rozwiązany. Oceniano, że kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego tworzy zestaw co najmniej 500 prac zajmujących co najmniej 10000 stronic w profesjonalnych czasopismach matematycznych i napisanych przez około 100 matematyków. Pierwszą próbą objaśnienia twierdzenia klasyfikacyjnego była monografia Daniela Gorensteina Finite simple groups. An introduction to their classification. Plenum Press 1982. Pod koniec lat 90-tych znaleziono jednak pewne luki w argumentacji (w 800-stronicowej pracy Masona) i podjęto próbę uratowania twierdzenia klasyfikacyjnego. W 2004 roku ukazały się dwie książki Aschbachera i Smitha pod wspólnym tytułem The classification