357502986

20

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

Definicja 1.4.4. Słowa w i v nazywają się równoważnymi, jeśli ich zredukowane postaci są identyczne. Piszemy wtedy w ~ v.

Relacja ~ jest oczywiście relacją równoważnościową na zbiorze M(XZ łatwością stwierdzamy także, że relacja ~ jest zgodna z działaniem mnożenia słów w monoidzie M(X'):

Wystarczy zauważyć, że słowa w i w' mają tę samą postać zredukowaną wo oraz podobnie v i v' mają tę samą postać zredukowaną vq. Zatem poprzez odpowiednie redukcje ze słowa w * v można otrzymać słowo wo * i podobnie, ze słowa w' * v' można także otrzymać słowo wq*vq. Teraz jest jasne, że w * v i w' * v' mają tę samą postać zredukowaną.

Niech F(X) oznacza zbiór klas abstrakcji relacji równoważnościowej ~ na monoidzie M(X¹). Klasę zawierającą słowo w będziemy oznaczać [u;]. W zbiorze F(X) możemy teraz określić działanie mnożenia klas kładąc

[o]-M :=[«..«)•

Oczywiście F(X) staje się w ten sposób monoidem, w którym jedynką jest klasa [1] słowa pustego 1. Faktycznie monoid ten jest grupą, gdyż dla dowolnego słowa w — x\jx% ... x^< , gdzie Xi € X oraz ej = ±1 mamy

Zatem w monoidzie F(X) każdy element [w] = [a^¹    ■ ■ ■x^‘] jest odwracalny i elementem od

wrotnym do niego jest [w]^-1 := [x“^e" .. .ajJ*²®^"*¹]. Wobec tego F(X) jest grupą. Zauważmy, że grupa ta jest generowana przez zbiór klas postaci [x], gdzie x € X. Grupę F(X) nazywamy grupą wolną z wolnym zbiorem generatorów X.

Przykład 1.4.1. Niech X — {x} będzie zbiorem jednoelementowym. Grupa wolna F(X) zjedno-elementowym wolnym zbiorem generatorów X = {x} jest generowana przez klasę [x], jest zatem grupą cykliczną z generatorem [x]. Jest to nieskończona grupa cykliczna, gdyż w przeciwnym przypadku mielibyśmy [x]ⁿ = 1 dla pewnej liczby naturalnej n wbrew temu, że słowo xx ■ ■ ■ x jest zredukowane i nie jest równoważne ze słowem pustym.

1.4.3 Własność uniwersalna grupy wolnej

Udowodnimy teraz własność uniwersalną grupy wolnej analogiczną do własności uniwersalnej mo-noidu wolnego z twierdzenia 1.4.1. Przede wszystkim więc formalizujemy związek grupy wolnej F(X) z jej wolnym zbiorem generatorów X określając odwzorowanie

^:X^F(X),    =

Twierdzenie 1.4.5. Niech X będzie zbiorem niepustym. Dla dowolnej grupy G i dowolnego odwzorowania f : X —* G istnieje dokładnie jeden homomorfizm grup h : F(X) —* G taki, że ho p = f, a więc taki, że następujący diagram jest przemienny:

P

X -► F(X)

G

Dowód. Najpierw rozszerzamy odwzorowanie / do odwzorowania f':X'—* G, gdzie X' = XuX~^l kładąc f'{x) = f(x) oraz f'(x~¹) = f(x)~^l dla każdego x € X. Na podstawie twierdzenia 1.4.1 istnieje dokładnie jeden homomorfizm monoidów h' : M(X') —> G taki, że h' o p! = /', gdzie