357502975

10

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

DEFINICJA 1.2.4. Klasę abstrakcji relacji sprzężenia ~ nazywa się orbitą zbioru X, lub G-orbitą zbioru X.

G-orbita zbioru X zawierająca element x E X ma postać:

{y E X : y ~ x) = {gx E X : g E G} =: Gx.

Zbiór X można więc przedstawić jako sumę mnogościową rozłącznych orbit:

X = {jGx,

gdzie X{ przebiega zbiór reprezentantów orbit zbioru X. Stąd, dla zbioru skończonego X, otrzymujemy

Bardzo ważnym dla zastosowań jest fakt, że liczbę elementów \Gx\ orbity Gx można przedstawić jako indeks pewnej podgrupy grupy G. Przystępujemy do opisu tego przedstawienia.

Definicja 1.2.5. Niech grupa G działa na zbiorze X. Stabilizatorem elementu x E X nazywamy zbiór

Stabz = {/ E G : fx = x}.

Łatwo zauważyć, że Stab x jest podgrupą grupy G. Jeśli s E Stab z, to dla dowolnego elementu g E G mamy (gs)x = g(sx) = gx. A więc każdy element warstwy g ■ Stab z transformuje element x na ten sam element gx. Pokażemy, że poza warstwą g ■ Stab z nie ma w grupie G elementów, które transformują x na gx.

TWIERDZENIE 1.2.6. Niech grupa G działa na zbiorze X i niech x E X, g E G.

(a)    Jeśli y = gx, to zbiór elementów h € G transformujących x na y (tzn. takich, że y = hx ) jest warstwą g ■ Stab x w grupie G.

(b)    Przyporządkowanie elementowi y = gx E Gx zbioru wszystkich elementów h E G transformujących x na y jest bijekcją orbity Gx na zbiór warstw G : Stab z.

Dowód, (a) wynika z następujących równoważności:

gx = hx x = g~¹hx g~¹h G Stabx h€g- Stabx.

(b) Na podstawie (a) mamy odwzorowanie

Gx —* G : Stabx, gx >-> {h E G : gx = hx} = g • Stabx.    (1.5)

Jest to oczywiście surjekcja (bo g przebiega całą grupę G). Injektywność wynika z następujących równoważności:

/ ■ Stabx = g ■ Stabx <=> f~^lgE Stabz •*=> fx = gx.

Zatem odwzorowanie (1.5) jest bijekcją.    □

Wniosek 1.2.7. Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to dla każdego x E X,

|Gx| = |G : Stabx|.

W szczególności, jeśli grupa G jest skończona, to liczba elementów w orbicie Gx jest dzielnikiem rzędu grupy G.

Wniosek 1.2.8. Jeśli grupa skończona G działa na zbiorze skończonym X oraz {xi,... ,Xk} jest zbiorem reprezentantów wszystkich orbit zbioru X, to

k

|A| =    |G : Stabxj|.

Tę równość nazywa się równaniem klas dla działania grupy G na zbiorze X.