3754969705

10

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

1.3 Wzory Freneta w Rⁿ

Definicja 1.3.1 (krzywa niezdegenerowana). Krzywa regularna jest niezdegenero-wana jeśli V*_e/ wektory d(t), d'(t),..., dⁿ\t) € Rⁿ są liniowo niezależne.

Definicja 1.3.2 (reper Freneta). Reperem Freneta regularnej, niezdegenerowanej krzywej c: I —► M" nazywamy układ funkcji ei,...,e_n: I —> Mⁿ, taki, że funkcje ei,..., e_n_i powstają z układu c',..., dⁿ~^ przez jego ortonormalizację, a funkcję e_n wybieramy tak, aby cały układ był ortonormalny i zorientowany dodatnio.

Uwaga 1.3.3. Można pokazać, że:

d	ei		0 Ki 0 ... 0' -Ki 0 K2 0		ei
dt			... o ... ^ 1 ... o ... o

gdzie Ki jest i-tą krzywizną krzywej c.

1.4 Krzywe w przestrzeni IR^:1

Dana jest krzywa w przestrzeni M³ z parametryzacją łukową c: I —> R³. Układ wektorów stanowiący reper Freneta tej krzywej obliczamy zgodnie z definicją podaną w poprzednim punkcie. Zauważmy, że skoro układ ten musi być zorientowany dodatnio, to mając dwa pierwsze wektory, możemy wyznaczyć trzeci z wzoru: e$ = e\ x e^. Wzory Freneta w przypadku trój-wymiarowym mają postać:

Cl'		' 0 k 0		V
e-2	=	—k 0 r
.^e3		0 -r 0		C3.

Liczby k oraz r nazywamy odpowiednio krzywizną i skręceniem krzywej.

Definicja 1.4.1 (trójścian Freneta). Niech c krzywa w M³, p € M³, oraz ei,e2,e3 reper Freneta krzywej c w punkcie p. Definiujemy następujące płaszczyzny:

•    ściśle styczna - rozpięta na wektorach e\, e-i,

•    normalna - rozpięta na wektorach ei, e3,

•    prostująca rozpięta na wektorach e2,e3.

Sumę tych trzech płaszczyzn nazywamy trójścianem Freneta.

Definicja 1.4.2. krzywa płaska Jeśli krzywa c: / —* M³ leży w pewnej płaszczyźnie, to mówimy, że jest to krzywa płaska.