3754969720

6

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Definicja 1.1.5 (parametryzacja łukowa). Parametryzacja krzywej 7: I —> Rⁿ jest łukowa o ile:

Vti<t₂e/    ⁼ t2~ti

1.2 Podstawowe własności, wzory Freneta

Stwierdzenie 1.2.1.    1. Regularny opis parametryczny jest opisem łukowym, wte

dy i tylko wtedy gdy V_te/ |Y(t)| = 1.

2. Każda krzywa regularna klasy C^l ma lukowy opis parametryczny.

Dowód. 1. Załóżmy, że krzywa ma parametryczny opis łukowy. Wówczas:

^{IVWI =} 5/j⁷'^(s)l*⁼l^l<-^{io| = 1}

czyli rzeczywiście dla dowolnego t E I zachodzi |7'(t)| = 1.

Załóżmy, teraz że zachodzi V_te/|7'(i)| = 1 i sprawdzimy, czy krzywa 7 ma opis łukowy. Ustalmy to € I. Dla t > to mamy:

^L(l\lto,t])= [ IY(«)Ids= [ Ids = t — t₀

Jto    Jto

czyli krzywa ma parametryzacje łukową.

2. Niech c(t) krzywa regularna, oraz t₀ € I. Zdefiniujmy funkcję s: I —* M wzorem:

s(t) = sgn(t - t₀) [ \d{r)\dT.

Jt₀

Funkcja s jest różniczkowalna, ponadto zachodzi: ^ = |^|. Pochodna c nie zeruje się, więc pochodna s jest zawsze dodatnia, stąd s monotoniczna (rosnąca). Istnieje więc funkcja odwrotna t(s) = s^-1(i). Niech 7(s) = c(£(s)). Sprawdzimy, że taka 7(s) ma opis łukowy.

1 ^ 1	\dc\	1 ^ 1	Ids I	1 ^ 1
1 d^s \	\ dt \	|ds |	1 ^ 1	\ds\

□

Przykład 1.2.2.    1. Krzywa (odcinek) c(t) — (at + x₀, f3t + y₀) jest łukowo spa-

rametryzowana wtedy i tylko wtedy, gdy a² + (3² = 1.

2. Łukowy opis parametryczny okręgu o środku (0,0) i promieniu R ma postać: c(s) = (^R cos R sin se[0,27ri?]