0560

ROZDZIAŁ XIV

CAŁKI ZALEŻNE OD PARAMETRU § 1. Teoria elementarna

503.    Sformułowanie zagadnienia. Rozpatrzmy funkcję /(x, y) dwu zmiennych, określoną dla wszystkich wartości x z pewnego przedziału <a, b} i wszystkich wartości y ze zbioru 0/ = {>>}. Załóżmy, że dla każdej ustalonej wartości y z 9/ istnieje całka właściwa lub niewłaściwa z funkcji f[x,y) w przedziale {a, b}. Przy tym założeniu całka

b

(1)    l(y) = ff(x,y)dx

a

jest oczywiście funkcją pomocniczej zmiennej, czyli parametru y.

W ustępie 436 mówiąc o ciągu funkcji {/„(*)} rozpatrywaliśmy całki

b

In = f fn(x) dx , a

są one szczególnym przypadkiem całek (1), w roli parametru występuje tu wskaźnik- naturalny n.

Nasuwa się oczywiście wiele zagadnień związanych z funkcją (1) i dotyczących istnienia i obliczania granicy tej funkcji przy określonym przejściu granicznym, jej ciągłości, różniczkowalności i obliczania pochodnej i wreszcie całki z niej. Tym wszystkim zagadnieniom poświęcony jest niniejszy rozdział.

Badanie własności funkcji określonej całką (.1) zależną od parametru jest interesujące samo przez się, ponadto twierdzenia o tego typu funkcjach, które udowodnimy niżej, mają różnorodne zastosowania, w szczególności do obliczania całek niewłaściwych.

504.    Zbieżność jednostajna do funkcji granicznej. Zasadniczą rolę w badaniach, do których przystępujemy, będzie właśnie odgrywało pojęcie wymienione w tytule ustępu.

Niech funkcja f(x,y) będzie określona, ogólnie biorąc, w dwuwymiarowym zbiorze xQ/ gdzie 9C i y są zbiorami wartości odpowiednio zmiennej x i y. Niech przy tym 0/ ma jako punkt skupienia skończoną liczbę y₀.

Jeżeli 1) dla funkcji f(x, >>) przy y -+ istnieje skończona funkcja graniczna .

(2)    lim f(x, y) = <p (x) (x 6

y-yo