img011 2

Rozwiąząc układ równań w zależności od parametru c: 3rc + 2y 4“ cz — 6 j ‘2,x 4~ y — z — 2 i x' 4 cy 4~ 2z — 4

^Odwzorowanie liniowe / : R² —> R² ma wartości własne —2 oraz 1 i wektory własne im odpowiadające (1,-1) , (2,-1). Obliczyć /(!.— 2).

©

Dane jest odwzorowanie liniowe / : E³ —»• R^} wzorem f(x, y, z) = (—y 4- 2; x 4- y 4- 2; a’ 4- 2s). Znaleźć jądro , obraz or az podać ich bazy i wymiary.

Znaleźć macierz spełniającą równanie: •

Odwzorowanie liniowe / : 2 1

Z1 =

3 1

-3    2

5    -3

■X

2 1 3 2

-2 4 3 -1

^! —» R² jest dane w bazie ei = (2,1) , e₂ = (1,3) poprzez maciers . Podać wzór tego odwzorowania w bazie kanonicznej.

6.

Sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową: f(x, y, z) = — x² + 3y² 4- 2² 4- 4xy — 4xz + 2yz Znaleźć bazę w której macierz formy jest diagonalna. Podać tę macierz.

7.    Układ wektorów jest bazą przestrzeni <t=4> każdy wektor jest ich jednoznaczną kombinacją liniowy (dowód).

8.    Podać definicję wielomianu charakterystycznego odzorowania liniowego oraz udowodnić, że nie zależy on od wyboru bazy.