3754969721

7

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA

Stwierdzenie 1.2.3. Jeżeli c: I —► Rⁿ jest krzywą różniczkowalną oraz f: W¹ —> R^TO jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to:

V*>ez(/°<0'(<o) = <&ftj)(^c'(^to))-

Dowód. Niech / = (/i,..., /_m), gdzie fi: Rⁿ —> R. Podobnie niech c = (a?i,..., x_n). Zachodzi wówczas: (/ o c)' = ((/i o c)¹,..., (f_m o c)'). Ustalmy 1 < A: < m. Mamy: z czego wynika, że:

(/ ° c)'(«o)

[UH-	ijfto)
L J Ji,j

□

Definicja 1.2.4 (orientacja dodatnia i ujemna). Układ v\,... ,v_n € R^ra ma orientację ujemną (dodatnią), gdy det(«i,..., v_n) < 0 (det(ui,..., v_n) > 0).

Wniosek 1.2.5. W przypadku gdy n = 1 wybór orientacji, to wybór kierunku poruszania się po prostej.

Zakładamy, że dane są krzywa c: I —> R², c(so) = V■ Oznaczmy kąt między wektorami stycznymi do krzywej c w punktach so i so + As przez: A_pip = <(ć(so),ć(so + As)), gdzie ć oznacza pierwszą pochodną c względem s.

Definicja 1.2.6 (krzywizna krzywej). Jeśli c jest zorientowaną krzywą płaską klasy C², to wielkość:

K_c(p) = lim

As—*0 As

nazywamy krzywizną krzywej c w punkcie p.

Definicja 1.2.7 (reper Freneta). Niech c będzie sparametryzowaną łukowo płaską krzywą zorientowaną dodatnio, a e\(t),e₂(t) dodatnio zorientowaną bazą ortonor-malną w R², taką, że ei(£) = d(t). Wtedy układ ei(£),e2(£) nazywamy reperem Freneta krzywej c w punkcie c(t).

Przykład 1.2.8. Niech c: I —> R² krzywa sparametryzowana łukowo, dana wzorem c(t) = (x(t),y(t)). Przyjmijmy e^t) = (x(t),y(t)), oraz e₂{t) = (~y(t),x(t)). Układ ei,e2 jest reperem Freneta krzywej c, ponieważ (ei,e2) = 0 oraz det[ei,e2] = 1.

Twierdzenie 1.2.9. Niech c krzywa płaska klasy C² sparametryzowana łukowo. Wówczas: