490575225

6

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

Homomorfizmy występujące w tej definicji wygodnie jest zapisać w postaci następującego diagramu:

K

Al

G

/2I

K

hf1

Jl-J-g hf₂

Rozważymy teraz własność homomorfizmów dualną w stosunku do kategoryj-nej monomorficzności. Dualność ta polega na tym, że w definicji 1.1.1 zmieniamy kierunki działania wszystkich homomorfizmów.

Definicja 1.1.2. Homomorfizm grup h : G' —> G nazywa się epimorfizmem ka-tegoryjnym grupy G' w grupę G jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów /1, /2 : G —* K mamy następującą implikację:

fih = f₂h =k fi = f₂.

Homomorfizmy występujące w tej definicji tworzą następujący diagram:

AT,

fi

fih

G

Ł

G'

h

hh

K

Stwierdzenie 1.1.3. Jeśli homomorfizm grup h : G —> G¹ jest odwzorowaniem injektywnym, to h jest monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G'.

Jeśli homomorfizm grup h : G' —* G jest odwzorowaniem surjektywnym, to h jest epimorfizmem kategoryjnym grupy G' w grupę G.

Dowód. W oznaczeniach definicji 1.1.1 zakładamy, że a € K oraz hf1 = /1/2. Wtedy

M/i(“)) = (hfi)(a) = (hf2)(a) = h(f₂(a)).

Jeśli h jest odwzorowaniem injektywnym, to stąd otrzymujemy fi (a) = f₂ (a). Wobec tego fi = f₂.

Podobnie, w oznaczeniach definicji 1.1.2 zakładamy, że a € G oraz fih = f₂h. Jeśli h jest odwzorowaniem surjektywnym, to istnieje h ę (}' taki, że a h(b). Wobec tego

h(o) = Mh(b)) = (f!h)(b) = (f₂h)(b) = Mh(b)) = f₂(a).

□

Stąd fi = f₂.