9414912328

Definicja. Układ nazywamy układem Cramera, jeśli macierz współczynników A jest kwadratową macierzą nieosobliwą tzn. m = n i det>ł ^ 0:

{Oll*l    +    O12I2    +    ...    +    Oi„I„    =    61

021X1    +    022*2    +    • • ■    +    «2n*n    =    &2

Onl*l    +    Oy|2*2    +    .. .    +    a_nnx_n    =    b_n

Tw. (Cramera) Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to dane jest wzorami ( wzory Cramera):

deM*

det^4

gdzie A_k oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie /c-tej kolumny kolumną B.

Przykład 1. Rozwiązać układ równań:

*1 +    *2 + 2*3 = -1

2*i - *2 + 2*3 = -4 5*i + 2*2 + 6*3 = -3

Rozwiązanie. Tworzymy macierz współczynników A i obliczamy jej wyznacznik:

	1 12		1 1 2
^A-	2 -1 2 5 2 6	; det-4 =	2-12 5 2 6

Ponieważ detA ^ O, więc jest to układ Cramera. Obliczamy wyznaczniki macierzy A_t, A₂, A₃:

I-i    1 2 I    I 1 -1 2 I

detAi = -4 -1 2=6; deU₂ = 2 -4 2 = 12;

| -3    2 6 |    | 5 -3 6 I

I 1 1 -1 I

det/ł₃ = 2 -1 -4 I = -12.

| 5    2 -3 |

Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie: *_x = 1, *₂ = 2, *₃ = -2.

Uwaga. Układ Cramera można też rozwiązać tzw. metodą macierzową. Ponieważ deti4 / O, więc istnieje macierz odwrotna A~^l.

Mnożymy układ - zapisany w postaci macierzowej - z lewej strony przez A~':

A-¹ ■ AX = A^-1 ■ B .