sc0006 bmp

© Jeśli układ (1) jest układem Cramera i jest jednorodnym, to ma dokładnie jedno rozwiązanie zerowe.

IL Badanie układu m równań liniowych o n niewiadomych

v    *•*

Rozważmy dla układu równań postaci (1) dwie macierze:

A =    ~ macierz współczynników (macierz główną),

oraz macierz rozszerzoną (macierz uzupełnioną) A_u, którą oznacza się także U, postaci:

a

A_u =

CiU- — Obi. .

o ^d JW-. *

a**- -

Stąd: rz(A) < rz(A_u) = rz(U).

Przyjmijmy bez dowodu poniższe twierdzenie.

Tw. Kroneckera - Capelliego

Układ równań postaci (1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A współczynników przy niewiadomych tego układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej A_u tego układu, tzn. gdy rz(A) - rz(Au) = r, przy czym :

1)    istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu, gdy r = n;

2)    istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego układu zależnych od n-r parametrów, gdy r < n.

Z powyższego twierdzenia, oczywiste są następujące wnioski:

3